9.1.7. В однородном магнитном поле поместили прямоугольную рамку с током. Индукция магнитного поля B параллельна плоскости рамки. Площадь рамки $S$, ток в ней $I$.
а) Докажите, что момент сил, действующий на рамку, $N = BM$, где $M = IS$ — магнитный момент рамки.
б) Докажите, что момент сил, действующий на рамку в случае, когда индукция магнитного поля направлена так, как изображено на рисунке, равен $\vec{N} =[\vec{M} \times \vec{B} ]$ где $M$ — магнитный момент рамки, модуль которого равен $IS$, а направление перпендикулярно плоскости рамки.
К задаче $9.1.7$
Решение
а) Момент сил будут создавать линии рамки перпендикулярные линиям магнитной индукции $B$. Пусть рамка имеет размеры $a$ на $b$ (для определённости, будем считать $b \bot B$), тогда момент силы Ампера будет составлять:
учитывая площадь рамки $(S = ab)$, то момент сил, действующий на рамку
$$\boxed{\boxed{N = IBS = BM}}$$
б) перпендикулярная компонента магнитной индукции $B_{\bot}$ будет направленно на растяжение рамки и не будет создавать момент силы $(N=0)$, между тем момент создаваемый $B_{|}$ составляет:
$$N = B_{|}IS = BIS\cos(90° - v) = BIS\sin v = BIS\sin \angle( \vec B,\vec{IS}) =|\vec{IS} \times \vec{B}|,$$ так как $\vec{IS} \uparrow\uparrow \vec{M}$.
Поскольку $\vec{N} = \vec{F} \times \vec{r}$, то будет справедливо, что $\vec{N} = \vec{IS} \times \vec{B}$, потому что направление момента перпендикулярно силе и плечу силы, которые задают ту же плоскость, что векторы $\vec{IS}$ и $\vec{B}$
