Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

igor правка от
Посмотреть решение История
правка #14363 предыдущая #14362 ← раньше позже →
ru/11.5.28.md +58 −3
@@ -1,11 +1,66 @@
### Условие
−$11.5.28.$ [Вставьте условие задачи]
+$11.5.28^*.$ Если длинный идеально проводящий тонкостенный цилиндр раскрутить вокруг своей оси, то внутри цилиндра возникает магнитное поле. Найдите его индукцию, если угловая скорость цилиндра $\omega$.
+
### Решение
−1
+Проведем рассуждения для произвольного контура, проходящего внутри стенки цилиндра перепендикулярно его оси (вдали от торцов цилиндра). По закону электромагнитной индукции
+
+$$
+\mathscr E_i=-\frac{d\Phi}{dt},\tag{1}
+$$
+
+где $\mathscr E_i$ есть ЭДС индукции вихревого электрического поля, создаваемого изменением полного(!) магнитного потока $\Phi$ через контур.
+
+Для нашего контура с учетом длинности цилиндра имеем
+
+$$
+d\Phi=S\,dB,\tag{2}
+$$
+
+где $S$ есть площадь охвата контура, $B$ есть индукция магнитного поля в цилиндре (магнитное поле внутри цилиндра однородное).
+
+ЭДС $\mathscr E_i$ будет разгонять электроны в стенках цилиндра [1]:
+
+$$
+\mathscr E_i=E_i\cdot2\pi r=\frac{F_i}{e}\cdot2\pi r=\frac{m_e\,dv}{e\,dt}\cdot2\pi r;
+$$
+
+здесь $E_i$ есть напряженность индуцированного электрического поля в стенке цилиндра, $r$ есть радиус цилиндра, $F_i$ есть сила, действующая на электрон со стороны поля $E_i$.
+
+Будем считать, что за приращение времени $dt$ электроны получают прирост скорости $dv=r\,d\omega$. То есть электроны не отстают от вращения положительных ионов.
+
+Тогда
+
+$$
+\mathscr E_i=\frac{m_er\,d\omega}{e\,dt}\cdot2\pi r.\tag{3}
+$$
+
+Подставляем $(3)$ и $(2)$ в $(1)$ и после сокращений получаем:
+
+$$
+\frac{2m_e}{e}d\omega=-dB
+$$
+
+Интегрируем это и получаем:
+
+$$
+\frac{2m_e}{e}\omega=-B+C.
+$$
+
+Константа $C$ интегрирования находится из условия, что, когда $\omega=0$, то и $B=0$; то есть $C=0$.
+
+Итак, с точностью до знака
+
+$$
+B=\frac{2m_e}{e}\omega.
+$$
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+B=\frac{2m_e}{e}\omega.
+$$