Правка раздела «Решение»
ru/2.6.52.md
+1 −1
| ### Условие | |||
| $2.6.52.$ Две соприкасающиеся шаровые глыбы массы $m$ ирадиуса $r$ каждая движутся по круговой орбите вокруг планеты массы $M$. Центры глыб находятся на одном радиусе, расстояние от точки их соприкосновения до центра планеты $R$. С какой силой давит одна глыба на другую? При каком радиусе орбиты взаимное притяжение глыб перестанет удерживать их вместе? Радиус планеты $R_0 ≫r$. Плотность глыб примите равной средней плотности планеты. | |||
| ### Решение | |||
| Запишем силу дейстыущие на крайнюю глыбу в две стороны: | |||
| $$ | |||
| N+m\omega²(R+r)=\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²} | |||
| $$ | |||
| Выразим квадрат угловой скорости(он будет таким же лля второй глыбы): | |||
| $$ | |||
| \omega²=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)} | |||
| $$ | |||
| Запишем силы на вторую глыбу: | |||
| $$ | |||
| \frac{\gamma m²}{4r²}+m\omega²(R-r)=\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N | |||
| $$ | |||
| Выразим квадрат угловой скорости: | |||
| $$ | |||
| \omega²=\frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)} | |||
| $$ | |||
| Приравняем: | |||
| $$ | |||
| \frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)}=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)} | |||
| @@ -25,7 +25,7 @@Решение | |||
| $$ | |||
| При решении, получим такой ответ: | |||
| $$ | |||
| − | \boxed{N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{(R²-r²)²}} | ||
| + | \boxed{N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{R(R²-r²)²}} | ||
| $$ | |||
| Когда глыбы перестанут удерживаться, сила друг на друга будет равна нулю: | |||
| $$ | |||
| N=0 | |||
| $$ | |||
| Т.к. масса глыб и планеты связаны с кубом их радиусов, с учётом равенства их плотностей, можем записать такое уравнение: | |||
| $$ | |||
| \frac{r³}{4r²}-\frac{r_0³(3R_\text{орб.}²r+r³)}{R_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²}=0 | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| rR_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²=4r_0³(3R_\text{орб.}²r+r) | |||
| $$ | |||
| Из условия задачи ясно, что: | |||
| $$ | |||
| r_0\gg r \Rightarrow R_\text{орб.}\gg r | |||
| $$ | |||
| Используем: | |||
| $$ | |||
| rR_\text{орб.}⁵=12r_0³R_\text{орб.}²r | |||
| $$ | |||
| Получем ответ: | |||
| $$ | |||
| \boxed{R_\text{орб.}=r_0\sqrt[3]{12}} | |||
| $$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{(R²-r²)²} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| R_\text{орб.}=r_0\sqrt[3]{12} | |||
| $$ | |||
| ещё строк без изменений 31 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.6.52.$ Две соприкасающиеся шаровые глыбы массы $m$ ирадиуса $r$ каждая движутся по круговой орбите вокруг планеты массы $M$. Центры глыб находятся на одном радиусе, расстояние от точки их соприкосновения до центра планеты $R$. С какой силой давит одна глыба на другую? При каком радиусе орбиты взаимное притяжение глыб перестанет удерживать их вместе? Радиус планеты $R_0 ≫r$. Плотность глыб примите равной средней плотности планеты. | $2.6.52.$ Две соприкасающиеся шаровые глыбы массы $m$ ирадиуса $r$ каждая движутся по круговой орбите вокруг планеты массы $M$. Центры глыб находятся на одном радиусе, расстояние от точки их соприкосновения до центра планеты $R$. С какой силой давит одна глыба на другую? При каком радиусе орбиты взаимное притяжение глыб перестанет удерживать их вместе? Радиус планеты $R_0 ≫r$. Плотность глыб примите равной средней плотности планеты. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Запишем силу дейстыущие на крайнюю глыбу в две стороны: | Запишем силу дейстыущие на крайнюю глыбу в две стороны: | ||
| $$ | $$ | ||
| N+m\omega²(R+r)=\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²} | N+m\omega²(R+r)=\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²} | ||
| $$ | $$ | ||
| Выразим квадрат угловой скорости(он будет таким же лля второй глыбы): | Выразим квадрат угловой скорости(он будет таким же лля второй глыбы): | ||
| $$ | $$ | ||
| \omega²=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)} | \omega²=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)} | ||
| $$ | $$ | ||
| Запишем силы на вторую глыбу: | Запишем силы на вторую глыбу: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{\gamma m²}{4r²}+m\omega²(R-r)=\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N | \frac{\gamma m²}{4r²}+m\omega²(R-r)=\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N | ||
| $$ | $$ | ||
| Выразим квадрат угловой скорости: | Выразим квадрат угловой скорости: | ||
| $$ | $$ | ||
| \omega²=\frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)} | \omega²=\frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)} | ||
| $$ | $$ | ||
| Приравняем: | Приравняем: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)}=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)} | \frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)}=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)} | ||
| @@ -25,7 +25,7 @@Решение | |||
| $$ | $$ | ||
| При решении, получим такой ответ: | При решении, получим такой ответ: | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{(R²-r²)²}} | \boxed{N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{R(R²-r²)²}} | ||
| $$ | $$ | ||
| Когда глыбы перестанут удерживаться, сила друг на друга будет равна нулю: | Когда глыбы перестанут удерживаться, сила друг на друга будет равна нулю: | ||
| $$ | $$ | ||
| N=0 | N=0 | ||
| $$ | $$ | ||
| Т.к. масса глыб и планеты связаны с кубом их радиусов, с учётом равенства их плотностей, можем записать такое уравнение: | Т.к. масса глыб и планеты связаны с кубом их радиусов, с учётом равенства их плотностей, можем записать такое уравнение: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{r³}{4r²}-\frac{r_0³(3R_\text{орб.}²r+r³)}{R_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²}=0 | \frac{r³}{4r²}-\frac{r_0³(3R_\text{орб.}²r+r³)}{R_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²}=0 | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| rR_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²=4r_0³(3R_\text{орб.}²r+r) | rR_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²=4r_0³(3R_\text{орб.}²r+r) | ||
| $$ | $$ | ||
| Из условия задачи ясно, что: | Из условия задачи ясно, что: | ||
| $$ | $$ | ||
| r_0\gg r \Rightarrow R_\text{орб.}\gg r | r_0\gg r \Rightarrow R_\text{орб.}\gg r | ||
| $$ | $$ | ||
| Используем: | Используем: | ||
| $$ | $$ | ||
| rR_\text{орб.}⁵=12r_0³R_\text{орб.}²r | rR_\text{орб.}⁵=12r_0³R_\text{орб.}²r | ||
| $$ | $$ | ||
| Получем ответ: | Получем ответ: | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{R_\text{орб.}=r_0\sqrt[3]{12}} | \boxed{R_\text{орб.}=r_0\sqrt[3]{12}} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{(R²-r²)²} | N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{(R²-r²)²} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| R_\text{орб.}=r_0\sqrt[3]{12} | R_\text{орб.}=r_0\sqrt[3]{12} | ||
| $$ | $$ | ||
| ещё строк без изменений 31 | |||