Edit to “Решение”

Anonymous edited May 5, 2025, 12:43 PM

View solution History

revision #14396 parent #13297 ← older

ru/2.6.52.md +1 −1

			### Условие

			$2.6.52.$ Две соприкасающиеся шаровые глыбы массы $m$ ирадиуса $r$ каждая движутся по круговой орбите вокруг планеты массы $M$. Центры глыб находятся на одном радиусе, расстояние от точки их соприкосновения до центра планеты $R$. С какой силой давит одна глыба на другую? При каком радиусе орбиты взаимное притяжение глыб перестанет удерживать их вместе? Радиус планеты $R_0 ≫r$. Плотность глыб примите равной средней плотности планеты.

			### Решение
			Запишем силу дейстыущие на крайнюю глыбу в две стороны:
			$$
			N+m\omega²(R+r)=\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}
			$$
			Выразим квадрат угловой скорости(он будет таким же лля второй глыбы):
			$$
			\omega²=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)}
			$$
			Запишем силы на вторую глыбу:
			$$
			\frac{\gamma m²}{4r²}+m\omega²(R-r)=\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N
			$$
			Выразим квадрат угловой скорости:
			$$
			\omega²=\frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)}
			$$
			Приравняем:
			$$
			\frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)}=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)}
		@@ -25,7 +25,7 @@Решение
			$$
			При решении, получим такой ответ:
			$$
		−	\boxed{N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{(R²-r²)²}}
		+	\boxed{N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{R(R²-r²)²}}
			$$
			Когда глыбы перестанут удерживаться, сила друг на друга будет равна нулю:
			$$
			N=0
			$$
			Т.к. масса глыб и планеты связаны с кубом их радиусов, с учётом равенства их плотностей, можем записать такое уравнение:
			$$
			\frac{r³}{4r²}-\frac{r_0³(3R_\text{орб.}²r+r³)}{R_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²}=0
			$$

			$$
			rR_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²=4r_0³(3R_\text{орб.}²r+r)
			$$
			Из условия задачи ясно, что:
			$$
			r_0\gg r \Rightarrow R_\text{орб.}\gg r
			$$
			Используем:
			$$
			rR_\text{орб.}⁵=12r_0³R_\text{орб.}²r
			$$
			Получем ответ:
			$$
			\boxed{R_\text{орб.}=r_0\sqrt[3]{12}}
			$$

			#### Ответ
			$$
			N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{(R²-r²)²}
			$$

			$$
			R_\text{орб.}=r_0\sqrt[3]{12}
			$$
		unchanged lines 31

	### Условие		### Условие

	$2.6.52.$ Две соприкасающиеся шаровые глыбы массы $m$ ирадиуса $r$ каждая движутся по круговой орбите вокруг планеты массы $M$. Центры глыб находятся на одном радиусе, расстояние от точки их соприкосновения до центра планеты $R$. С какой силой давит одна глыба на другую? При каком радиусе орбиты взаимное притяжение глыб перестанет удерживать их вместе? Радиус планеты $R_0 ≫r$. Плотность глыб примите равной средней плотности планеты.		$2.6.52.$ Две соприкасающиеся шаровые глыбы массы $m$ ирадиуса $r$ каждая движутся по круговой орбите вокруг планеты массы $M$. Центры глыб находятся на одном радиусе, расстояние от точки их соприкосновения до центра планеты $R$. С какой силой давит одна глыба на другую? При каком радиусе орбиты взаимное притяжение глыб перестанет удерживать их вместе? Радиус планеты $R_0 ≫r$. Плотность глыб примите равной средней плотности планеты.

	### Решение		### Решение
	Запишем силу дейстыущие на крайнюю глыбу в две стороны:		Запишем силу дейстыущие на крайнюю глыбу в две стороны:
	$$		$$
	N+m\omega²(R+r)=\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}		N+m\omega²(R+r)=\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}
	$$		$$
	Выразим квадрат угловой скорости(он будет таким же лля второй глыбы):		Выразим квадрат угловой скорости(он будет таким же лля второй глыбы):
	$$		$$
	\omega²=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)}		\omega²=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)}
	$$		$$
	Запишем силы на вторую глыбу:		Запишем силы на вторую глыбу:
	$$		$$
	\frac{\gamma m²}{4r²}+m\omega²(R-r)=\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N		\frac{\gamma m²}{4r²}+m\omega²(R-r)=\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N
	$$		$$
	Выразим квадрат угловой скорости:		Выразим квадрат угловой скорости:
	$$		$$
	\omega²=\frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)}		\omega²=\frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)}
	$$		$$
	Приравняем:		Приравняем:
	$$		$$
	\frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)}=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)}		\frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)}=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)}
	@@ -25,7 +25,7 @@Решение
	$$		$$
	При решении, получим такой ответ:		При решении, получим такой ответ:
	$$		$$
	\boxed{N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{(R²-r²)²}}		\boxed{N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{R(R²-r²)²}}
	$$		$$
	Когда глыбы перестанут удерживаться, сила друг на друга будет равна нулю:		Когда глыбы перестанут удерживаться, сила друг на друга будет равна нулю:
	$$		$$
	N=0		N=0
	$$		$$
	Т.к. масса глыб и планеты связаны с кубом их радиусов, с учётом равенства их плотностей, можем записать такое уравнение:		Т.к. масса глыб и планеты связаны с кубом их радиусов, с учётом равенства их плотностей, можем записать такое уравнение:
	$$		$$
	\frac{r³}{4r²}-\frac{r_0³(3R_\text{орб.}²r+r³)}{R_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²}=0		\frac{r³}{4r²}-\frac{r_0³(3R_\text{орб.}²r+r³)}{R_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²}=0
	$$		$$

	$$		$$
	rR_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²=4r_0³(3R_\text{орб.}²r+r)		rR_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²=4r_0³(3R_\text{орб.}²r+r)
	$$		$$
	Из условия задачи ясно, что:		Из условия задачи ясно, что:
	$$		$$
	r_0\gg r \Rightarrow R_\text{орб.}\gg r		r_0\gg r \Rightarrow R_\text{орб.}\gg r
	$$		$$
	Используем:		Используем:
	$$		$$
	rR_\text{орб.}⁵=12r_0³R_\text{орб.}²r		rR_\text{орб.}⁵=12r_0³R_\text{орб.}²r
	$$		$$
	Получем ответ:		Получем ответ:
	$$		$$
	\boxed{R_\text{орб.}=r_0\sqrt[3]{12}}		\boxed{R_\text{орб.}=r_0\sqrt[3]{12}}
	$$		$$

	#### Ответ		#### Ответ
	$$		$$
	N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{(R²-r²)²}		N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{(R²-r²)²}
	$$		$$

	$$		$$
	R_\text{орб.}=r_0\sqrt[3]{12}		R_\text{орб.}=r_0\sqrt[3]{12}
	$$		$$
	unchanged lines 31