Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от 6 мая 2025 г., 09:01

правка #14400 предыдущая #14399 ← раньше

ru/10.1.18.md +47 −3

		@@ -1,11 +1,55 @@
			### Условие

		−	$10.1.18.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$10.1.18.$ Определите время ускорения протона, входящего в центр ускорителя с кинетической энергией $K$, если ускоряющее напряжение на дуантах циклотрона $V$, индукция магнитного поля ускорителя $B$, его радиус $R$. Временем движения протона между дуантами ускорителя пренебречь.

			### Решение

		−	jhg
		+	Каждый раз, переходя между дуантами, протон получает приращение к кинетической энергии на величину $eV$. Чтобы достичь конечной кинетической энергии $E_{кон}$ нужно:

		+	$$E_{кон}=K+NeV \tag{1}$$
		+
		+	где $N$ - количество переходов между даунтами.
		+
		+	Но конечную энергию можно выразить через радиус и магнитное поле:
		+
		+	$$E_{кон}=\frac{1}{2}m_{p}\upsilon^{2} \tag{2}$$
		+
		+	Конечную скорость найдём из второго закона Ньютона при движении протона по максимальной орбите:
		+
		+	$$e\upsilon B=m_{p}\frac{\upsilon^{2}}{R} \Longrightarrow \upsilon=\frac{eBR}{m_{p}}$$
		+
		+	Подставим в (2):
		+
		+	$$E_{кон}=\frac{1}{2}m_{p}\left(\frac{eBR}{m_{p}} \right)^{2}=\frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}} \tag{3}$$
		+
		+	Подставим (3) в (1):
		+
		+	$$\frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}}=K+NeV$$
		+
		+	Выразим отсюда $N$:
		+
		+	$$N=\frac{1}{eV}\left( \frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}}-K \right) \tag{4}$$
		+
		+	По условию задачи временем движения протона между дуантами ускорителя пренебрегаем и учитывая, что протон проходит $N$ полуоборотов (по одному ускорению за пол-оборот), время ускорения:
		+
		+	$$t=N\cdot \frac{T}{2} \tag{5}$$
		+
		+	где $T$ - период вращения протона. В магнитном поле циклотронная частота (смотри решение задачи $10.1.3а.$):
		+
		+	$$\omega=\frac{eB}{m_{p}}$$
		+
		+	Период связан с частотой зависимостью:
		+
		+	$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi m_{p}}{eB} \tag{6}$$
		+
		+	Подставим выражения (4) и (6) в (5):
		+
		+	$$t=\frac{1}{eV}\left( \frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}}-K \right)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2\pi m_{p}}{eB}$$
		+
		+	Окончательно получим:
		+
		+	$$t=\frac{\pi m_{p}}{e^{2}BV}\left( \frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}}-K \right)$$
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$$t=\frac{\pi m_{p}}{e^{2}BV}\left( \frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}}-K \right)$$

	@@ -1,11 +1,55 @@
	### Условие		### Условие

	$10.1.18.$ [Вставьте условие задачи]		$10.1.18.$ Определите время ускорения протона, входящего в центр ускорителя с кинетической энергией $K$, если ускоряющее напряжение на дуантах циклотрона $V$, индукция магнитного поля ускорителя $B$, его радиус $R$. Временем движения протона между дуантами ускорителя пренебречь.

	### Решение		### Решение

	jhg		Каждый раз, переходя между дуантами, протон получает приращение к кинетической энергии на величину $eV$. Чтобы достичь конечной кинетической энергии $E_{кон}$ нужно:

			$$E_{кон}=K+NeV \tag{1}$$

			где $N$ - количество переходов между даунтами.

			Но конечную энергию можно выразить через радиус и магнитное поле:

			$$E_{кон}=\frac{1}{2}m_{p}\upsilon^{2} \tag{2}$$

			Конечную скорость найдём из второго закона Ньютона при движении протона по максимальной орбите:

			$$e\upsilon B=m_{p}\frac{\upsilon^{2}}{R} \Longrightarrow \upsilon=\frac{eBR}{m_{p}}$$

			Подставим в (2):

			$$E_{кон}=\frac{1}{2}m_{p}\left(\frac{eBR}{m_{p}} \right)^{2}=\frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}} \tag{3}$$

			Подставим (3) в (1):

			$$\frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}}=K+NeV$$

			Выразим отсюда $N$:

			$$N=\frac{1}{eV}\left( \frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}}-K \right) \tag{4}$$

			По условию задачи временем движения протона между дуантами ускорителя пренебрегаем и учитывая, что протон проходит $N$ полуоборотов (по одному ускорению за пол-оборот), время ускорения:

			$$t=N\cdot \frac{T}{2} \tag{5}$$

			где $T$ - период вращения протона. В магнитном поле циклотронная частота (смотри решение задачи $10.1.3а.$):

			$$\omega=\frac{eB}{m_{p}}$$

			Период связан с частотой зависимостью:

			$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi m_{p}}{eB} \tag{6}$$

			Подставим выражения (4) и (6) в (5):

			$$t=\frac{1}{eV}\left( \frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}}-K \right)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2\pi m_{p}}{eB}$$

			Окончательно получим:

			$$t=\frac{\pi m_{p}}{e^{2}BV}\left( \frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}}-K \right)$$

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$$t=\frac{\pi m_{p}}{e^{2}BV}\left( \frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}}-K \right)$$