Решение

Каждый раз, переходя между дуантами, протон получает приращение к кинетической энергии на величину $eV$. Чтобы достичь конечной кинетической энергии $E_{кон}$ нужно:

$$E_{кон}=K+NeV \tag{1}$$

где $N$ - количество переходов между даунтами.

Но конечную энергию можно выразить через радиус и магнитное поле:

$$E_{кон}=\frac{1}{2}m_{p}\upsilon^{2} \tag{2}$$

Конечную скорость найдём из второго закона Ньютона при движении протона по максимальной орбите:

$$e\upsilon B=m_{p}\frac{\upsilon^{2}}{R} \Longrightarrow \upsilon=\frac{eBR}{m_{p}}$$

Подставим в (2):

$$E_{кон}=\frac{1}{2}m_{p}\left(\frac{eBR}{m_{p}} \right)^{2}=\frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}} \tag{3}$$

Подставим (3) в (1):

$$\frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}}=K+NeV$$

Выразим отсюда $N$:

$$N=\frac{1}{eV}\left( \frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}}-K \right) \tag{4}$$

По условию задачи временем движения протона между дуантами ускорителя пренебрегаем и учитывая, что протон проходит $N$ полуоборотов (по одному ускорению за пол-оборот), время ускорения:

$$t=N\cdot \frac{T}{2} \tag{5}$$

где $T$ - период вращения протона. В магнитном поле циклотронная частота (смотри решение задачи $10.1.3а.$):

$$\omega=\frac{eB}{m_{p}}$$

Период связан с частотой зависимостью:

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi m_{p}}{eB} \tag{6}$$

Подставим выражения (4) и (6) в (5):

$$t=\frac{1}{eV}\left( \frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}}-K \right)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2\pi m_{p}}{eB}$$

Окончательно получим:

$$t=\frac{\pi m_{p}}{e^{2}BV}\left( \frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{p}}-K \right)$$