Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #14420 предыдущая #14419 ← раньше
ru/2.6.48.md +18 −5
@@ -1,44 +1,57 @@
### Условие
−$2.6.48.$ Спутник, двигавшийся по круговой орбите радиуса $R_с$ был мгновенно заторможен и стал двигаться по эллиптической орбите, касающейся начальной
−орбиты и поверхности планеты. Определите время падения спутника на планету.
−Радиус планеты $R$, ускорение свободного падения на поверхности $g$.
+$2.6.48.$ Спутник, двигавшийся по круговой орбите радиуса $R_с$ был мгновенно заторможен и стал двигаться по эллиптической орбите, касающейся начальной орбиты и поверхности планеты. Определите время падения спутника на планету. Радиус планеты $R$, ускорение свободного падения на поверхности $g$.
### Решение
+
Для упрощения вычисления предположим, что:
+
$$
−R_c>>R
+R_c \gg R
$$
+
В таком случае, время падения примерно будет равно половине периода:
+
$$
t=\frac{T}{2}
$$
+
Большая полуось в единицах $R$ и $R_c$:
+
$$
a=\frac{R_c+R}{2}
$$
+
Закон Кеплера:
+
$$
\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{\gamma M}
$$
−Используем $g$:
+
+Используем ускорение свободного падения $g$:
+
$$
\gamma M=gR^2
$$
+
Решаем дальше:
+
$$
\frac{T^2}{4}=\frac{\pi^2a^3}{gR^2}=t^2
$$
$$
t^2=\frac{\pi^2(R+R_c)^3}{8gR^2}
$$
+
Получаем ответ:
+
$$
\boxed{t=\pi\sqrt{R/g}[(1+R_c/R)/2]^{3/2}}
$$
#### Ответ
+
$$
t=\pi\sqrt{R/g}[(1+R_c/R)/2]^{3/2}
$$