| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $2.2.20.$ Где находится центр масс: однородного прута, согнутого посередине под прямым углом? однородной треугольной пластинки? гардеробного номерка в виде диска с круглым отверстием? | | $2.2.20.$ Где находится центр масс: однородного прута, согнутого посередине под прямым углом? однородной треугольной пластинки? гардеробного номерка в виде диска с круглым отверстием? |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
| a) Найдем центр масс прямого угла | | a) Найдем центр масс прямого угла |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Откуда расстояние до вершины угла. | | Откуда расстояние до вершины угла. |
| | | |
| $$ | | $$ |
| l = L \frac{\sqrt{2}}{4} | | l = L \frac{\sqrt{2}}{4} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| б) Перейдем к равностороннему треугольнику | | б) Перейдем к равностороннему треугольнику |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Центр масс будет отстаять от каждой стороны на величину | | Центр масс будет отстаять от каждой стороны на величину |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x_c = \frac{0 \cdot \frac{m}{3} + \frac{l}{6}\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{m}{3}\cdot 2}{m} | | x_c = \frac{0 \cdot \frac{m}{3} + \frac{l}{6}\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{m}{3}\cdot 2}{m} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x_c = \frac{l}{6\sqrt{3}} | | x_c = \frac{l}{6\sqrt{3}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| И эта точка будет являться [центроидом](https://en.wikipedia.org/wiki/Centroid) треугольника | | И эта точка будет являться [центроидом](https://en.wikipedia.org/wiki/Centroid) треугольника |
| | | |
| в) Чтобы найти центр масс номерка, представим номерок как суперпозицию диска с поверхностной плотностью $\sigma$ на которого наложили диск с отрицательной плотностью $-\sigma$ | | в) Чтобы найти центр масс номерка, представим номерок как суперпозицию диска с поверхностной плотностью $\sigma$ на которого наложили диск с отрицательной плотностью $-\sigma$ |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Найдем расстояния центра масс от центра номерка | | Найдем расстояния центра масс от центра номерка |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x_c = \frac{0 \cdot \sigma R^2 - d \sigma r^2}{\sigma R^2 - \sigma r^2} | | x_c = \frac{0 \cdot \sigma R^2 - d \sigma r^2}{\sigma R^2 - \sigma r^2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Таким образом, расстояние на котором будет находиться центр масс номерка | | Таким образом, расстояние на котором будет находиться центр масс номерка |
| | | |
| $$ | | $$ |
| l = d \frac{r^2}{R^2 - r^2} | | l = d \frac{r^2}{R^2 - r^2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| #### Ответ: | | #### Ответ: |
| | | |
| На биссектрисе угла на расстоянии $l = L \sqrt{2}/4$, где $L$ — длина половины прута; | | На биссектрисе угла на расстоянии $l = L \sqrt{2}/4$, где $L$ — длина половины прута; |
| | | |
| в точке пересечения медиан; | | в точке пересечения медиан; |
| | | |
| на прямой, соединяющей центры диска и отверстия, на расстоянии $l = dr^2/(R^2 − r^2)$ от центра диска. | | на прямой, соединяющей центры диска и отверстия, на расстоянии $l = dr^2/(R^2 − r^2)$ от центра диска. |