Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/3.2.36.md
+56 −3
| @@ -1,11 +1,64 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.2.36.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $3.2.36.$ В цилиндрическом сосуде радиуса $R$ находится поршень длины $l$, соединенный пружиной жесткости $k$ со стенкой сосуда. По оси поршня имеется сквозной канал радиуса $r$. Все свободное пространство в сосуде заполнено жидкостью плотности $\rho$. Найдите частоту колебаний поршня, если $l\gg R$ и масса поршня равна $m$. | ||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | jhk | ||
| + | Решим данную задачу так, как бы её решали студенты 1 курса на курсе теоретической механики. Надеюсь, что этот методологический приём расширит горизонты физического познания школьников и побудит к дальнейшему изучению приёмов теоретической механики. | ||
| + | Пусть поршень перемещается на расстояние $x(t)$ от положения равновесия. Жидкость должна перетекать из одной половины в другую через узкий канал внутри поршня. Это вызывает движение жидкости в канале, а значит жидкость приобретает кинетическую энергию. Поскольку жидкость идеальна и несжимаема, для неё можно применить уравнение неразрывности (другими словами закон сохранения массы): $S\upsilon=const$. Обозначим скорость жидкости в канале через $\upsilon$, скорость жидкости прямо перед поршнем - $\dot{x}$ (считаем, что жидкость двигается со скоростью поршня), тогда уравнение неразрывности приобретает вид: | ||
| + | |||
| + | $$\pi R^{2}\dot{x}=\pi r^{2}\upsilon$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда скорость жидкости в канале: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon=\frac{R^{2}}{r^{2}}\dot{x}$$ | ||
| + | |||
| + | Масса всей жидкости в канале: | ||
| + | |||
| + | $$m_{ж}=\rho\pi r^{2}l$$ | ||
| + | |||
| + | Кинетическая энергия жидкости: | ||
| + | |||
| + | $$T_{ж}=\frac{1}{2}m_{ж}\upsilon^{2}=\frac{1}{2}\rho\pi r^{2}l\left( \frac{R^{2}}{r^{2}}\dot{x} \right)^{2}=\frac{1}{2}\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}\dot{x}^{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Полная кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии самого поршня и жидкости в нём: | ||
| + | |||
| + | $$T=T_{п}+T_{ж}=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}\dot{x}^{2}=\frac{1}{2}\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}^{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Потенциальная энергия системы состоит только из потенциальной энергии пружины: | ||
| + | |||
| + | $$U=\frac{1}{2}kx^{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Лагранжиан системы: | ||
| + | |||
| + | $$\mathcal{L}=T-U=\frac{1}{2}\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Запишем уравнение Эйлера-Лагранжа: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{d }{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0$$ | ||
| + | |||
| + | Вычислим частные производные: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}=\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}$$ | ||
| + | $$\frac{d }{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)=\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\ddot{x}$$ | ||
| + | $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=-kx$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим найденные выражения производных в уравнение Эйлера-Лагранжа: | ||
| + | |||
| + | $$\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\ddot{x}+kx=0$$ | ||
| + | $$\ddot{x}+\frac{k}{m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}}x=0$$ | ||
| + | |||
| + | Это уравнение движения гармонического осциллятора в виде $\ddot{x}+\omega^{2}x=0$, где $\omega$ - циклическая частота: | ||
| + | |||
| + | $$\omega^{2}=\frac{k}{m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}}$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда: | ||
| + | |||
| + | $$\omega=\sqrt{\frac{k}{m+\pi\rho l\frac{R^{4}}{r^{2}}}}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$\omega=\sqrt{\frac{k}{m+\pi\rho l\frac{R^{4}}{r^{2}}}}$$ | ||
| @@ -1,11 +1,64 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.2.36.$ [Вставьте условие задачи] | $3.2.36.$ В цилиндрическом сосуде радиуса $R$ находится поршень длины $l$, соединенный пружиной жесткости $k$ со стенкой сосуда. По оси поршня имеется сквозной канал радиуса $r$. Все свободное пространство в сосуде заполнено жидкостью плотности $\rho$. Найдите частоту колебаний поршня, если $l\gg R$ и масса поршня равна $m$. | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| jhk | Решим данную задачу так, как бы её решали студенты 1 курса на курсе теоретической механики. Надеюсь, что этот методологический приём расширит горизонты физического познания школьников и побудит к дальнейшему изучению приёмов теоретической механики. | ||
| Пусть поршень перемещается на расстояние $x(t)$ от положения равновесия. Жидкость должна перетекать из одной половины в другую через узкий канал внутри поршня. Это вызывает движение жидкости в канале, а значит жидкость приобретает кинетическую энергию. Поскольку жидкость идеальна и несжимаема, для неё можно применить уравнение неразрывности (другими словами закон сохранения массы): $S\upsilon=const$. Обозначим скорость жидкости в канале через $\upsilon$, скорость жидкости прямо перед поршнем - $\dot{x}$ (считаем, что жидкость двигается со скоростью поршня), тогда уравнение неразрывности приобретает вид: | |||
| $$\pi R^{2}\dot{x}=\pi r^{2}\upsilon$$ | |||
| Отсюда скорость жидкости в канале: | |||
| $$\upsilon=\frac{R^{2}}{r^{2}}\dot{x}$$ | |||
| Масса всей жидкости в канале: | |||
| $$m_{ж}=\rho\pi r^{2}l$$ | |||
| Кинетическая энергия жидкости: | |||
| $$T_{ж}=\frac{1}{2}m_{ж}\upsilon^{2}=\frac{1}{2}\rho\pi r^{2}l\left( \frac{R^{2}}{r^{2}}\dot{x} \right)^{2}=\frac{1}{2}\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}\dot{x}^{2}$$ | |||
| Полная кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии самого поршня и жидкости в нём: | |||
| $$T=T_{п}+T_{ж}=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}\dot{x}^{2}=\frac{1}{2}\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}^{2}$$ | |||
| Потенциальная энергия системы состоит только из потенциальной энергии пружины: | |||
| $$U=\frac{1}{2}kx^{2}$$ | |||
| Лагранжиан системы: | |||
| $$\mathcal{L}=T-U=\frac{1}{2}\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}$$ | |||
| Запишем уравнение Эйлера-Лагранжа: | |||
| $$\frac{d }{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0$$ | |||
| Вычислим частные производные: | |||
| $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}=\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}$$ | |||
| $$\frac{d }{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)=\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\ddot{x}$$ | |||
| $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=-kx$$ | |||
| Подставим найденные выражения производных в уравнение Эйлера-Лагранжа: | |||
| $$\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\ddot{x}+kx=0$$ | |||
| $$\ddot{x}+\frac{k}{m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}}x=0$$ | |||
| Это уравнение движения гармонического осциллятора в виде $\ddot{x}+\omega^{2}x=0$, где $\omega$ - циклическая частота: | |||
| $$\omega^{2}=\frac{k}{m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}}$$ | |||
| Отсюда: | |||
| $$\omega=\sqrt{\frac{k}{m+\pi\rho l\frac{R^{4}}{r^{2}}}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$\omega=\sqrt{\frac{k}{m+\pi\rho l\frac{R^{4}}{r^{2}}}}$$ | ||