Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #14444 parent #14442 ← older newer →
ru/3.2.36.md +56 −3
@@ -1,11 +1,64 @@
### Условие
−$3.2.36.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.2.36.$ В цилиндрическом сосуде радиуса $R$ находится поршень длины $l$, соединенный пружиной жесткости $k$ со стенкой сосуда. По оси поршня имеется сквозной канал радиуса $r$. Все свободное пространство в сосуде заполнено жидкостью плотности $\rho$. Найдите частоту колебаний поршня, если $l\gg R$ и масса поршня равна $m$.
+![К задаче $3.2.36$|256x105, 50%](../../img/3.2.36/3.2.36.png)
+
### Решение
−jhk
+Решим данную задачу так, как бы её решали студенты 1 курса на курсе теоретической механики. Надеюсь, что этот методологический приём расширит горизонты физического познания школьников и побудит к дальнейшему изучению приёмов теоретической механики.
+Пусть поршень перемещается на расстояние $x(t)$ от положения равновесия. Жидкость должна перетекать из одной половины в другую через узкий канал внутри поршня. Это вызывает движение жидкости в канале, а значит жидкость приобретает кинетическую энергию. Поскольку жидкость идеальна и несжимаема, для неё можно применить уравнение неразрывности (другими словами закон сохранения массы): $S\upsilon=const$. Обозначим скорость жидкости в канале через $\upsilon$, скорость жидкости прямо перед поршнем - $\dot{x}$ (считаем, что жидкость двигается со скоростью поршня), тогда уравнение неразрывности приобретает вид:
+
+$$\pi R^{2}\dot{x}=\pi r^{2}\upsilon$$
+
+Отсюда скорость жидкости в канале:
+
+$$\upsilon=\frac{R^{2}}{r^{2}}\dot{x}$$
+
+Масса всей жидкости в канале:
+
+$$m_{ж}=\rho\pi r^{2}l$$
+
+Кинетическая энергия жидкости:
+
+$$T_{ж}=\frac{1}{2}m_{ж}\upsilon^{2}=\frac{1}{2}\rho\pi r^{2}l\left( \frac{R^{2}}{r^{2}}\dot{x} \right)^{2}=\frac{1}{2}\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}\dot{x}^{2}$$
+
+Полная кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии самого поршня и жидкости в нём:
+
+$$T=T_{п}+T_{ж}=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}\dot{x}^{2}=\frac{1}{2}\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}^{2}$$
+
+Потенциальная энергия системы состоит только из потенциальной энергии пружины:
+
+$$U=\frac{1}{2}kx^{2}$$
+
+Лагранжиан системы:
+
+$$\mathcal{L}=T-U=\frac{1}{2}\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}$$
+
+Запишем уравнение Эйлера-Лагранжа:
+
+$$\frac{d }{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0$$
+
+Вычислим частные производные:
+
+$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}=\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}$$
+$$\frac{d }{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)=\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\ddot{x}$$
+$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=-kx$$
+
+Подставим найденные выражения производных в уравнение Эйлера-Лагранжа:
+
+$$\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\ddot{x}+kx=0$$
+$$\ddot{x}+\frac{k}{m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}}x=0$$
+
+Это уравнение движения гармонического осциллятора в виде $\ddot{x}+\omega^{2}x=0$, где $\omega$ - циклическая частота:
+
+$$\omega^{2}=\frac{k}{m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}}$$
+
+Отсюда:
+
+$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m+\pi\rho l\frac{R^{4}}{r^{2}}}}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m+\pi\rho l\frac{R^{4}}{r^{2}}}}$$