| @@ -1,8 +1,8 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $5.5.33.$ Мыльный пузырь, заполненный горячим воздухом, неподвижно висит в атмосфере. Атмосферное давление $P_{0}$ и температура $T_{0}$. Плотность мыльной пленки $\rho$, ее толщина $\delta$, а радиус пузыря $r$. Найдите температуру воздуха внутри пузыря, если поверхностное натяжение мыльной воды равно $\sigma$. Молярная масса воздуха $\mu$. |
| $5.5.33.$ Мыльный пузырь, заполненный горячим воздухом, неподвижно висит в атмосфере. Атмосферное давление $P_{0}$ и температура $T_{0}$. Плотность мыльной пленки $\rho$, ее толщина $\delta$, а радиус пузыря $r$. Найдите температуру воздуха внутри пузыря, если поверхностное натяжение мыльной воды равно $\sigma$. Молярная масса воздуха $\mu$. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Поскольку пузырь мыльный, у него две поверхности: внутренняя и внешняя. Каждая создает дополнительное давление из-за поверхностного натяжения (Лапласовое давление): | | Поскольку пузырь мыльный, у него две поверхности: внутренняя и внешняя. Каждая создает дополнительное давление из-за поверхностного натяжения (Лапласовое давление): |
| | | |
| $$P_{л}=\frac{4\sigma}{r}$$ | | $$P_{л}=\frac{4\sigma}{r}$$ |
| | | |
| Давление внутри пузыря: | | Давление внутри пузыря: |
| | | |
| $$P=P_{0}+\frac{4\sigma}{r} \tag{1}$$ | | $$P=P_{0}+\frac{4\sigma}{r} \tag{1}$$ |
| | | |
| Масса пузыря состоит из массы мыльной плёнки и массы гарячего воздуха. Масса плёнки равна: | | Масса пузыря состоит из массы мыльной плёнки и массы гарячего воздуха. Масса плёнки равна: |
| | | |
| $$m_{пл}=\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta \tag{2}$$ | | $$m_{пл}=\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta \tag{2}$$ |
| | | |
| Условие равновесия (сила Архимеда уравновешивает вес пузыря): | | Условие равновесия (сила Архимеда уравновешивает вес пузыря): |
| | | |
| $$\rho_{0}Vg=(m_{пл}+m_{г})g \tag{3}$$ | | $$\rho_{0}Vg=(m_{пл}+m_{г})g \tag{3}$$ |
| | | |
| где $\rho_{0}$ - плотность окружающего воздуха. Массу воздуха найдём из уравнения состояния идеального газа: | | где $\rho_{0}$ - плотность окружающего воздуха. Массу воздуха найдём из уравнения состояния идеального газа: |
| | | |
| $$PV=\frac{m_{г}}{\mu}RT \Longrightarrow m_{г}=\frac{\mu PV}{RT} \tag{4}$$ | | $$PV=\frac{m_{г}}{\mu}RT \Longrightarrow m_{г}=\frac{\mu PV}{RT} \tag{4}$$ |
| | | |
| Подставим (2) и (4) в (3): | | Подставим (2) и (4) в (3): |
| | | |
| $$\rho_{0}V=\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta+\frac{\mu PV}{RT}$$ | | $$\rho_{0}V=\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta+\frac{\mu PV}{RT}$$ |
| $$\rho_{0}=\frac{\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta}{V}+\frac{\mu P}{RT}$$ | | $$\rho_{0}=\frac{\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta}{V}+\frac{\mu P}{RT}$$ |
| | | |
| Объём пузыря: $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$, тогда | | Объём пузыря: $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$, тогда |
| | | |
| $$\rho_{0}=\frac{\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}+\frac{\mu P}{RT}$$ | | $$\rho_{0}=\frac{\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}+\frac{\mu P}{RT}$$ |
| $$\rho_{0}=\frac{3\rho \delta}{r}+\frac{\mu P}{RT} \tag{5}$$ | | $$\rho_{0}=\frac{3\rho \delta}{r}+\frac{\mu P}{RT} \tag{5}$$ |
| | | |
| Плотность окружающего воздуха выразим из уравнения состояния идеального газа: | | Плотность окружающего воздуха выразим из уравнения состояния идеального газа: |
| | | |
| $$\rho_{0}=\frac{\mu P_{0}}{RT_{0}} \tag{6}$$ | | $$\rho_{0}=\frac{\mu P_{0}}{RT_{0}} \tag{6}$$ |
| | | |
| Подставим (6) и (1) в (5): | | Подставим (6) и (1) в (5): |
| | | |
| $$\frac{\mu P_{0}}{RT_{0}}=\frac{3\rho \delta}{r}+\frac{\mu (P_{0}+\frac{4\sigma}{r})}{RT}$$ | | $$\frac{\mu P_{0}}{RT_{0}}=\frac{3\rho \delta}{r}+\frac{\mu (P_{0}+\frac{4\sigma}{r})}{RT}$$ |
| | | |
| Отсюда выразим $T$: | | Отсюда выразим $T$: |
| | | |
| $$T=T_{0}\frac{\mu(P_{0}r+4\sigma)}{\mu P_{0}r-3\delta RT_{0}\rho}$$ | | $$T=T_{0}\frac{\mu(P_{0}r+4\sigma)}{\mu P_{0}r-3\delta RT_{0}\rho}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$T=T_{0}\frac{\mu(P_{0}r+4\sigma)}{\mu P_{0}r-3\delta RT_{0}\rho}$$ | | $$T=T_{0}\frac{\mu(P_{0}r+4\sigma)}{\mu P_{0}r-3\delta RT_{0}\rho}$$ |
