Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от 21 мая 2025 г., 19:30

правка #14464 предыдущая #14463 ← раньше позже →

ru/5.5.33.md +45 −3

		@@ -1,11 +1,53 @@
			### Условие

		−	$5.5.33.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$5.5.33.$ Мыльный пузырь, заполненный горячим воздухом, неподвижно висит в атмосфере. Атмосферное давление $P_{0}$ и температура $T_{0}$. Плотность мыльной пленки $\rho$, ее толщина $\delta$, а радиус пузыря $r$. Найдите температуру воздуха внутри пузыря, если поверхностное натяжение мыльной воды равно $\sigma$. Молярная масса воздуха $\mu$.

		+	![К задаче $5.5.33$\|211x107, 50%](../../img/5.5.33/5.5.33.png)
		+
			### Решение

		−	jhg
		+	Поскольку пузырь мыльный, у него две поверхности: внутренняя и внешняя. Каждая создает дополнительное давление из-за поверхностного натяжения (Лапласовое давление):

		+	$$P_{л}=\frac{4\sigma}{r}$$
		+
		+	Давление внутри пузыря:
		+
		+	$$P=P_{0}+\frac{4\sigma}{r} \tag{1}$$
		+
		+	Масса пузыря состоит из массы мыльной плёнки и массы гарячего воздуха. Масса плёнки равна:
		+
		+	$$m_{пл}=\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta \tag{2}$$
		+
		+	Условие равновесия (сила Архимеда уравновешивает вес пузыря):
		+
		+	$$\rho_{0}Vg=(m_{пл}+m_{г})g \tag{3}$$
		+
		+	где $\rho_{0}$ - плотность окружающего воздуха. Массу воздуха найдём из уравнения состояния идеального газа:
		+
		+	$$PV=\frac{m_{г}}{\mu}RT \Longrightarrow m_{г}=\frac{\mu PV}{RT} \tag{4}$$
		+
		+	Подставим (2) и (4) в (3):
		+
		+	$$\rho_{0}V=\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta+\frac{\mu PV}{RT}$$
		+	$$\rho_{0}=\frac{\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta}{V}+\frac{\mu P}{RT}$$
		+
		+	Объём пузыря: $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$, тогда
		+
		+	$$\rho_{0}=\frac{\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}+\frac{\mu P}{RT}$$
		+	$$\rho_{0}=\frac{3\rho \delta}{r}+\frac{\mu P}{RT} \tag{5}$$
		+
		+	Плотность окружающего воздуха выразим из уравнения состояния идеального газа:
		+
		+	$$\rho_{0}=\frac{\mu P_{0}}{RT_{0}} \tag{6}$$
		+
		+	Подставим (6) и (1) в (5):
		+
		+	$$\frac{\mu P_{0}}{RT_{0}}=\frac{3\rho \delta}{r}+\frac{\mu (P_{0}+\frac{4\sigma}{r})}{RT}$$
		+
		+	Отсюда выразим $T$:
		+
		+	$$T=T_{0}\frac{\mu(P_{0}r+4\sigma)}{\mu P_{0}r-3\delta RT_{0}\rho}$$
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$$T=T_{0}\frac{\mu(P_{0}r+4\sigma)}{\mu P_{0}r-3\delta RT_{0}\rho}$$

	@@ -1,11 +1,53 @@
	### Условие		### Условие

	$5.5.33.$ [Вставьте условие задачи]		$5.5.33.$ Мыльный пузырь, заполненный горячим воздухом, неподвижно висит в атмосфере. Атмосферное давление $P_{0}$ и температура $T_{0}$. Плотность мыльной пленки $\rho$, ее толщина $\delta$, а радиус пузыря $r$. Найдите температуру воздуха внутри пузыря, если поверхностное натяжение мыльной воды равно $\sigma$. Молярная масса воздуха $\mu$.

			![К задаче $5.5.33$\|211x107, 50%](../../img/5.5.33/5.5.33.png)

	### Решение		### Решение

	jhg		Поскольку пузырь мыльный, у него две поверхности: внутренняя и внешняя. Каждая создает дополнительное давление из-за поверхностного натяжения (Лапласовое давление):

			$$P_{л}=\frac{4\sigma}{r}$$

			Давление внутри пузыря:

			$$P=P_{0}+\frac{4\sigma}{r} \tag{1}$$

			Масса пузыря состоит из массы мыльной плёнки и массы гарячего воздуха. Масса плёнки равна:

			$$m_{пл}=\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta \tag{2}$$

			Условие равновесия (сила Архимеда уравновешивает вес пузыря):

			$$\rho_{0}Vg=(m_{пл}+m_{г})g \tag{3}$$

			где $\rho_{0}$ - плотность окружающего воздуха. Массу воздуха найдём из уравнения состояния идеального газа:

			$$PV=\frac{m_{г}}{\mu}RT \Longrightarrow m_{г}=\frac{\mu PV}{RT} \tag{4}$$

			Подставим (2) и (4) в (3):

			$$\rho_{0}V=\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta+\frac{\mu PV}{RT}$$
			$$\rho_{0}=\frac{\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta}{V}+\frac{\mu P}{RT}$$

			Объём пузыря: $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$, тогда

			$$\rho_{0}=\frac{\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}+\frac{\mu P}{RT}$$
			$$\rho_{0}=\frac{3\rho \delta}{r}+\frac{\mu P}{RT} \tag{5}$$

			Плотность окружающего воздуха выразим из уравнения состояния идеального газа:

			$$\rho_{0}=\frac{\mu P_{0}}{RT_{0}} \tag{6}$$

			Подставим (6) и (1) в (5):

			$$\frac{\mu P_{0}}{RT_{0}}=\frac{3\rho \delta}{r}+\frac{\mu (P_{0}+\frac{4\sigma}{r})}{RT}$$

			Отсюда выразим $T$:

			$$T=T_{0}\frac{\mu(P_{0}r+4\sigma)}{\mu P_{0}r-3\delta RT_{0}\rho}$$

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$$T=T_{0}\frac{\mu(P_{0}r+4\sigma)}{\mu P_{0}r-3\delta RT_{0}\rho}$$