Решение

Запишем первое начало термодинамики:

$$\Delta U = Q + A$$

У нас система теплоизолирована, поэтому $Q=0$. Газ увеличивает свою внутреннюю энергию за счёт работы, выполняемой поршнем по адиабатическому сжатию газа. Эта работа равна изменению кинетической энергии поршня. При максимальном сжатии скорость поршня в конце процесса равна 0, то есть вся кинетическая энергия поршня переходит во внутренюю энергию газа:

$$\Delta U = A = \frac{1}{2}Mu^{2} \tag{1}$$

Для $\nu$ молей одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии:

$$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R(T-T_{0}) \tag{2}$$

Приравняем (1) и (2):

$$\frac{3}{2}\nu R(T-T_{0})=\frac{1}{2}Mu^{2}$$

Выразим отсюда $T$:

$$T=T_{0}+\frac{Mu^{2}}{3\nu R}=T_{0}\left( 1+ \frac{Mu^{2}}{3\nu RT_{0}}\right) \tag{3}$$

Запишем уравнение Менделеева-Клейперона: $P_{0}V_{0}=\nu RT_{0}$. Тогда выражение (3) можно записать:

$$T=T_{0}\left( 1+ \frac{Mu^{2}}{3P_{0}V_{0}}\right) \tag{4}$$

Так как у нас процесс адиабатический, то запишем уравнение адиабаты:

$$TV^{\gamma-1}=\mathrm{const}$$

где $\gamma=\frac{5}{3}$ - показатель адиабаты для одноатомного идеального газа.

Для двух состояний уравнение примет вид:

$$T_{0}V_{0}^{\gamma-1}=TV^{\gamma-1}$$
$$V=V_{0}\left( \frac{T}{T_{0}} \right)^{\frac{1}{1-\gamma}} \tag{5}$$

Подставим (4) в (5):

$$V=V_{0}\left( \frac{T_{0}\left( 1+ \frac{Mu^{2}}{3P_{0}V_{0}}\right)}{T_{0}} \right)^{\frac{1}{1-\gamma}}=V_{0}\left( \frac{3P_{0}V_{0}+Mu^{2}}{3P_{0}V_{0}} \right)^{\frac{1}{1-\gamma}}=V_{0}\left( \frac{3P_{0}V_{0}}{3P_{0}V_{0}+Mu^{2}} \right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$$

Показатель степени:

$$\frac{1}{\gamma-1}=\frac{1}{\frac{5}{3}-1}=\frac{3}{2}$$

Окончательно:

$$V=V_{0}\left( \frac{3P_{0}V_{0}}{3P_{0}V_{0}+Mu^{2}} \right)^{\frac{3}{2}}$$