Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от 22 мая 2025 г., 14:04

правка #14478 предыдущая #14477 ← раньше

ru/5.9.1.md +33 −3

		@@ -1,11 +1,41 @@
			### Условие

		−	$5.9.1.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$5.9.1.$ Два одинаковых тела, нагретых до разных температур, приводятся в тепловой контакт друг с другом. Температуры тел уравниваются. Покажите, что при этом процессе энтропия системы увеличивается.

			### Решение

		−	ыва
		+	Пусть эти два одинаковых тела имеют теплоёмкость $C$, одно из них нагрели до температуры $T_{1}$, а другое до $T_{2}$ ($T_{1}\neq T_{2}$). В процессе теплообмена температура тел уравнивается, и система приходит к термодинамическому равновесию. Запишем уравнение теплового баланса:

		+	$$C(T-T_{1})+C(T-T_{2})=0$$
		+
		+	где $T$ - конечная температура обоих тел. Она будет равна среднему арифметическому первоначальных температур тел:
		+
		+	$$T=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}$$
		+
		+	Энтропия — это функция состояния, и её изменение при квазистатическом теплообмене можно найти как:
		+
		+	$$\Delta S=\int \frac{\delta Q}{T}$$
		+
		+	Итак, для первого тела получим изменение энтропии:
		+
		+	$$\Delta S_{1}=\int_{T_{1}}^{T}\frac{CdT}{T}=C\ln\frac{T}{T_{1}}$$
		+
		+	Для второго тела:
		+
		+	$$\Delta S_{2}=\int_{T_{2}}^{T}\frac{CdT}{T}=C\ln\frac{T}{T_{2}}$$
		+
		+	Суммарное изменение энтропии всей системы:
		+
		+	$$\Delta S_{сис}=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}=C\ln\frac{T}{T_{1}}+C\ln\frac{T}{T_{2}}$$
		+	$$\Delta S_{сис}=C\ln\frac{T^{2}}{T_{1}T_{2}}=2C\ln\frac{T}{\sqrt{T_{1}T_{2}}}$$
		+	$$\Delta S_{сис}=2C\ln\frac{\frac{T_{1}+T_{2}}{2}}{\sqrt{T_{1}T_{2}}}$$
		+
		+	Используем известное неравенство, что среднее арифметическое больше среднего геометрического:
		+
		+	$$\frac{T_{1}+T_{2}}{2}\gt \sqrt{T_{1}T_{2}} \text{ при } T_{1}\neq T_{2}$$
		+
		+	Следовательно, натуральный логарифм больше 1 и суммарное изменение энтропии больше 0. Что и требовалось доказать.
		+
			#### Ответ

		−	~~[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]~~
		+	Энтропия системы увеличивается.

	@@ -1,11 +1,41 @@
	### Условие		### Условие

	$5.9.1.$ [Вставьте условие задачи]		$5.9.1.$ Два одинаковых тела, нагретых до разных температур, приводятся в тепловой контакт друг с другом. Температуры тел уравниваются. Покажите, что при этом процессе энтропия системы увеличивается.

	### Решение		### Решение

	ыва		Пусть эти два одинаковых тела имеют теплоёмкость $C$, одно из них нагрели до температуры $T_{1}$, а другое до $T_{2}$ ($T_{1}\neq T_{2}$). В процессе теплообмена температура тел уравнивается, и система приходит к термодинамическому равновесию. Запишем уравнение теплового баланса:

			$$C(T-T_{1})+C(T-T_{2})=0$$

			где $T$ - конечная температура обоих тел. Она будет равна среднему арифметическому первоначальных температур тел:

			$$T=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}$$

			Энтропия — это функция состояния, и её изменение при квазистатическом теплообмене можно найти как:

			$$\Delta S=\int \frac{\delta Q}{T}$$

			Итак, для первого тела получим изменение энтропии:

			$$\Delta S_{1}=\int_{T_{1}}^{T}\frac{CdT}{T}=C\ln\frac{T}{T_{1}}$$

			Для второго тела:

			$$\Delta S_{2}=\int_{T_{2}}^{T}\frac{CdT}{T}=C\ln\frac{T}{T_{2}}$$

			Суммарное изменение энтропии всей системы:

			$$\Delta S_{сис}=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}=C\ln\frac{T}{T_{1}}+C\ln\frac{T}{T_{2}}$$
			$$\Delta S_{сис}=C\ln\frac{T^{2}}{T_{1}T_{2}}=2C\ln\frac{T}{\sqrt{T_{1}T_{2}}}$$
			$$\Delta S_{сис}=2C\ln\frac{\frac{T_{1}+T_{2}}{2}}{\sqrt{T_{1}T_{2}}}$$

			Используем известное неравенство, что среднее арифметическое больше среднего геометрического:

			$$\frac{T_{1}+T_{2}}{2}\gt \sqrt{T_{1}T_{2}} \text{ при } T_{1}\neq T_{2}$$

			Следовательно, натуральный логарифм больше 1 и суммарное изменение энтропии больше 0. Что и требовалось доказать.

	#### Ответ		#### Ответ

	~~[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]~~		Энтропия системы увеличивается.