Решение

Пусть эти два одинаковых тела имеют теплоёмкость $C$, одно из них нагрели до температуры $T_{1}$, а другое до $T_{2}$ ($T_{1}\neq T_{2}$). В процессе теплообмена температура тел уравнивается, и система приходит к термодинамическому равновесию. Запишем уравнение теплового баланса:

$$C(T-T_{1})+C(T-T_{2})=0$$

где $T$ - конечная температура обоих тел. Она будет равна среднему арифметическому первоначальных температур тел:

$$T=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}$$

Энтропия — это функция состояния, и её изменение при квазистатическом теплообмене можно найти как:

$$\Delta S=\int \frac{\delta Q}{T}$$

Итак, для первого тела получим изменение энтропии:

$$\Delta S_{1}=\int_{T_{1}}^{T}\frac{CdT}{T}=C\ln\frac{T}{T_{1}}$$

Для второго тела:

$$\Delta S_{2}=\int_{T_{2}}^{T}\frac{CdT}{T}=C\ln\frac{T}{T_{2}}$$

Суммарное изменение энтропии всей системы:

$$\Delta S_{сис}=\Delta S_{1}+\Delta S_{2}=C\ln\frac{T}{T_{1}}+C\ln\frac{T}{T_{2}}$$
$$\Delta S_{сис}=C\ln\frac{T^{2}}{T_{1}T_{2}}=2C\ln\frac{T}{\sqrt{T_{1}T_{2}}}$$
$$\Delta S_{сис}=2C\ln\frac{\frac{T_{1}+T_{2}}{2}}{\sqrt{T_{1}T_{2}}}$$

Используем известное неравенство, что среднее арифметическое больше среднего геометрического:

$$\frac{T_{1}+T_{2}}{2}\gt \sqrt{T_{1}T_{2}} \text{ при } T_{1}\neq T_{2}$$

Следовательно, натуральный логарифм больше 1 и суммарное изменение энтропии больше 0. Что и требовалось доказать.