Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от 27 мая 2025 г., 06:12

правка #14496 предыдущая #14495 ← раньше

ru/7.1.21.md +21 −3

		@@ -1,11 +1,29 @@
			### Условие

		−	$7.1.21.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$7.1.21.$ Тело массы $m$, заряд которого $q$, находится между двумя закрепленными зарядами $Q$, $Qq\gt 0$. Расстояние от тела до каждого из этих зарядов $l$. Определите частоту малых колебаний тела вдоль линии, соединяющей заряды $Q$.

			### Решение

		−	wet
		+	Пусть тело сместилось на $x$ вправо. Запишем второй закон Ньютона:

		+	$$m\ddot{x}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}(l+x)^{2}}-\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}(l-x)^{2}}$$
		+
		+	При $x\ll l$ используем разложение в ряд Тейлора:
		+
		+	$$\frac{1}{(l\pm x)^{2}}\approx \frac{1}{l^{2}}\mp \frac{2x}{l^{3}}$$
		+
		+	Подставляем:
		+
		+	$$m\ddot{x}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \left( \frac{1}{l^{2}}-\frac{2x}{l^{3}} \right)- \left(\frac{1}{l^{2}}+\frac{2x}{l^{3}} \right)\right)=-\frac{4Qqx}{4\pi\varepsilon_{0}l^{3}}=-\frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}l^{3}}x$$
		+	$$m\ddot{x}+\frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}l^{3}}x=0$$
		+	$$\ddot{x}+\frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}ml^{3}}x=0$$
		+
		+	Это уравнение гармонических колебаний с частотой:
		+
		+	$$\omega=\sqrt{\frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}ml^{3}}}$$
		+
		+	В ответе задачника ошибка/опечатка (размерность не соответсвует частоте).
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$$\omega=\sqrt{\frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}ml^{3}}}$$

	@@ -1,11 +1,29 @@
	### Условие		### Условие

	$7.1.21.$ [Вставьте условие задачи]		$7.1.21.$ Тело массы $m$, заряд которого $q$, находится между двумя закрепленными зарядами $Q$, $Qq\gt 0$. Расстояние от тела до каждого из этих зарядов $l$. Определите частоту малых колебаний тела вдоль линии, соединяющей заряды $Q$.

	### Решение		### Решение

	wet		Пусть тело сместилось на $x$ вправо. Запишем второй закон Ньютона:

			$$m\ddot{x}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}(l+x)^{2}}-\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}(l-x)^{2}}$$

			При $x\ll l$ используем разложение в ряд Тейлора:

			$$\frac{1}{(l\pm x)^{2}}\approx \frac{1}{l^{2}}\mp \frac{2x}{l^{3}}$$

			Подставляем:

			$$m\ddot{x}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \left( \frac{1}{l^{2}}-\frac{2x}{l^{3}} \right)- \left(\frac{1}{l^{2}}+\frac{2x}{l^{3}} \right)\right)=-\frac{4Qqx}{4\pi\varepsilon_{0}l^{3}}=-\frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}l^{3}}x$$
			$$m\ddot{x}+\frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}l^{3}}x=0$$
			$$\ddot{x}+\frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}ml^{3}}x=0$$

			Это уравнение гармонических колебаний с частотой:

			$$\omega=\sqrt{\frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}ml^{3}}}$$

			В ответе задачника ошибка/опечатка (размерность не соответсвует частоте).

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$$\omega=\sqrt{\frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}ml^{3}}}$$