Решение

Запишем закон Ампера-Максвелла (связь между циркуляцией магнитного поля и током, проходящим через поверхность, ограниченную контуром циркуляции):

$$\oint_{C}\vec B\cdot d\vec l=\mu_{0}I_{пр}$$

где $C$ - замкнутый контур интегрирования, $I_{пр}$ - полный ток проводимости, охватываемый этим контуром.

Выберем в качестве контура окружность радиуса $r^{'}$ (внутри тора), концентрическую с тором. Предполагается, что магнитное поле $\vec B$ направлено по касательной к окружности и одинаково по всей длине этой окружности (из-за симметрии). Тогда:

$$\oint_{C}\vec B\cdot d\vec l=B(r^{'})\cdot 2\pi r^{'}$$

Через контур радиуса $r^{'}$, если он лежит внутри тора, проходят все $N$ витков, в каждом из которых течёт ток $I$. Поэтому:

$$I_{пр}=NI$$

Как результат получим:

$$B(r^{'})\cdot 2\pi r^{'}=\mu_{0}NI$$

Отсюда:

$$B(r^{'})=\frac{\mu_{0}NI}{2\pi r^{'}}$$

Эта формула справедлива внутри тора, где $r\lt r^{'}\lt R$ — от внутреннего до внешнего радиуса. Снаружи и внутри полости в центре тороида поле стремится к нулю.

Максимальная магнитная индукция будет на минимальном расстоянии от центра, то есть на внутреннем радиусе:

$$B_{max}=\frac{\mu_{0}NI}{2\pi r}$$

Минимальная магнитная индукция будет на внешнем радиусе:

$$B_{min}=\frac{\mu_{0}NI}{2\pi R}$$