Правка раздела «Решение»

emixter правка от 30 мая 2025 г., 12:30

правка #14541 предыдущая #14515 ← раньше

ru/7.4.30.md +40 −0

			### Условие

			$7.4.30.$ Две одинаковые капли ртути радиуса $R$ летят навстречу друг другу, имея на большом расстоянии скорость $\upsilon$. Происходит столкновение, в результате которого капли сливаются в одну. Определите количество выделившейся при столкновении теплоты, если: а) капли имеют разноименные заряды $Q$ и $−Q$; б) одна капля имеет заряд $−q$, другая $Q$. Плотность ртути $\rho$, поверхностное натяжение $\sigma$.

			### Решение

			Рассмотрим обе ситуации с учетом энергии системы до и после слияния капель ртути. Будем учитывать кинетическую энергию капель, энергию поверхностного натяжения, електрическую энергию самих капель и их взаимодействия. Потери энергии будут идти на теплоту:

			$$W=E_{1}-E_{2}$$

			где $E_{1}$ - полная энергия до слияния капель, а $E_{2}$ - полная энергия после слияния капель.

			Изначальная масса капель:

			$$m=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$

			После слияния объем суммируется, значит новый радиус:

			$$2\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3} \Longrightarrow R_{1}=\sqrt[3]{2}R$$

			$\textbf{а) }$ Рассмотрим случай, когда заряды капель равны $Q$ и $−Q$.

			Кинетическая энергия до слияния капель:

			$$Е_{1K}=2\cdot\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=m\upsilon^{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}$$

			Поверхностная энергия двух капель до слияния:

			$$Е_{1S}=2\cdot S\sigma=2\cdot 4\pi R^{2}\sigma=8\pi R^{2}\sigma$$

			Каждая заряженная капля имеет собственную електрическую энергию:

			$$Е_{1E}^{'}=\int_{0}^{Q}\varphi dq^{'}=\int_{0}^{Q}\frac{q^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}R}dq^{'}=\frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$

			поскольку ртуть проводник, заряд капли располагается на её поверхности, то считаем потенциал $\varphi$, как для проводящей сферы радиуса $R$.

			Суммарная електрическая энергия двух капель до слияния:

			$$Е_{1E}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}=\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$

			Потенциальной энергии взаимодействия зарядов $Q$ и $−Q$ на большом (бесконечном) расстоянии нет, она равна 0.

			После слияния капель по закону сохранения импульса скорость образовавшейся капли равна 0, значит кинетическая энергия тоже равна 0:

			$$Е_{2K}=0$$

			Поверхностная энергия после слияния:

			$$Е_{2S}=4\pi R_{1}^{2}\sigma=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$

			По закону сохранения заряда: $Q-Q=0$, то есть после слияния система електрически нейтральна, значит електрическая энергия равна 0:

			$$Е_{2E}=0$$

			Итак, полная энергия системы до слияния:

			$$E_{1}=E_{1K}+E_{1S}+E_{1E}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$

			Полная энергия системы после слияния:

			$$E_{2}=E_{2K}+E_{2S}+E_{2E}=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$

			Разность энергий даст нам количество, выделившейся теплоты:

			$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}-4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$
			$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$
		@@ -67,8 +67,48 @@Решение

			$\textbf{б) }$ Теперь рассмотрим случай, когда заряды капель $−q$ и $Q$.

		+	Кинетическая энергия до слияния будет та же:
		+
		+	$$Е_{1K}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}$$
		+
		+	Поверхностная энергия до слияния также будет та же:
		+
		+	$$Е_{1S}=8\pi R^{2}\sigma$$
		+
		+	Електрическая энергия системы будет суммой собственных електрических энергий капель с зарядами $−q$ и $Q$:
		+
		+	$$E_{1E}=\frac{1}{2}\cdot \frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+\frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}=\frac{q^{2}+Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$
		+
		+	После слияния капель их кинетическая энергия равна 0 (по той же причине, что и в случае а):
		+
		+	$$Е_{2K}=0$$
		+
		+	Поверхностная энергия после слияния такая же, как в случае а:
		+
		+	$$Е_{2S}=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$
		+
		+	После слияния по закону сохранению заряда, заряд капли станет $Q-q$ и её електрическая энергия будет:
		+
		+	$$E_{2E}=\frac{1}{2}\cdot \frac{(Q-q)^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}}=\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}$$
		+
		+	Итак, полная энергия системы до слияния:
		+
		+	$$E_{1}=E_{1K}+E_{1S}+E_{1E}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{q^{2}+Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$
		+
		+	Полная энергия системы после слияния:
		+
		+	$$E_{2}=E_{2K}+E_{2S}+E_{2E}=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma+\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}$$
		+
		+	Разность энергий даст нам количество, выделившейся теплоты:
		+
		+	$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{q^{2}+Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma-\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}$$
		+
		+	$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}+q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$
		+
		+	В ответе задачника есть опечатки.
		+
			#### Ответ

			$$\textbf{а) } W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$

			$$\textbf{б) } W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}+q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$

	### Условие		### Условие

	$7.4.30.$ Две одинаковые капли ртути радиуса $R$ летят навстречу друг другу, имея на большом расстоянии скорость $\upsilon$. Происходит столкновение, в результате которого капли сливаются в одну. Определите количество выделившейся при столкновении теплоты, если: а) капли имеют разноименные заряды $Q$ и $−Q$; б) одна капля имеет заряд $−q$, другая $Q$. Плотность ртути $\rho$, поверхностное натяжение $\sigma$.		$7.4.30.$ Две одинаковые капли ртути радиуса $R$ летят навстречу друг другу, имея на большом расстоянии скорость $\upsilon$. Происходит столкновение, в результате которого капли сливаются в одну. Определите количество выделившейся при столкновении теплоты, если: а) капли имеют разноименные заряды $Q$ и $−Q$; б) одна капля имеет заряд $−q$, другая $Q$. Плотность ртути $\rho$, поверхностное натяжение $\sigma$.

	### Решение		### Решение

	Рассмотрим обе ситуации с учетом энергии системы до и после слияния капель ртути. Будем учитывать кинетическую энергию капель, энергию поверхностного натяжения, електрическую энергию самих капель и их взаимодействия. Потери энергии будут идти на теплоту:		Рассмотрим обе ситуации с учетом энергии системы до и после слияния капель ртути. Будем учитывать кинетическую энергию капель, энергию поверхностного натяжения, електрическую энергию самих капель и их взаимодействия. Потери энергии будут идти на теплоту:

	$$W=E_{1}-E_{2}$$		$$W=E_{1}-E_{2}$$

	где $E_{1}$ - полная энергия до слияния капель, а $E_{2}$ - полная энергия после слияния капель.		где $E_{1}$ - полная энергия до слияния капель, а $E_{2}$ - полная энергия после слияния капель.

	Изначальная масса капель:		Изначальная масса капель:

	$$m=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$		$$m=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$

	После слияния объем суммируется, значит новый радиус:		После слияния объем суммируется, значит новый радиус:

	$$2\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3} \Longrightarrow R_{1}=\sqrt[3]{2}R$$		$$2\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3} \Longrightarrow R_{1}=\sqrt[3]{2}R$$

	$\textbf{а) }$ Рассмотрим случай, когда заряды капель равны $Q$ и $−Q$.		$\textbf{а) }$ Рассмотрим случай, когда заряды капель равны $Q$ и $−Q$.

	Кинетическая энергия до слияния капель:		Кинетическая энергия до слияния капель:

	$$Е_{1K}=2\cdot\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=m\upsilon^{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}$$		$$Е_{1K}=2\cdot\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=m\upsilon^{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}$$

	Поверхностная энергия двух капель до слияния:		Поверхностная энергия двух капель до слияния:

	$$Е_{1S}=2\cdot S\sigma=2\cdot 4\pi R^{2}\sigma=8\pi R^{2}\sigma$$		$$Е_{1S}=2\cdot S\sigma=2\cdot 4\pi R^{2}\sigma=8\pi R^{2}\sigma$$

	Каждая заряженная капля имеет собственную електрическую энергию:		Каждая заряженная капля имеет собственную електрическую энергию:

	$$Е_{1E}^{'}=\int_{0}^{Q}\varphi dq^{'}=\int_{0}^{Q}\frac{q^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}R}dq^{'}=\frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$		$$Е_{1E}^{'}=\int_{0}^{Q}\varphi dq^{'}=\int_{0}^{Q}\frac{q^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}R}dq^{'}=\frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$

	поскольку ртуть проводник, заряд капли располагается на её поверхности, то считаем потенциал $\varphi$, как для проводящей сферы радиуса $R$.		поскольку ртуть проводник, заряд капли располагается на её поверхности, то считаем потенциал $\varphi$, как для проводящей сферы радиуса $R$.

	Суммарная електрическая энергия двух капель до слияния:		Суммарная електрическая энергия двух капель до слияния:

	$$Е_{1E}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}=\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$		$$Е_{1E}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}=\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$

	Потенциальной энергии взаимодействия зарядов $Q$ и $−Q$ на большом (бесконечном) расстоянии нет, она равна 0.		Потенциальной энергии взаимодействия зарядов $Q$ и $−Q$ на большом (бесконечном) расстоянии нет, она равна 0.

	После слияния капель по закону сохранения импульса скорость образовавшейся капли равна 0, значит кинетическая энергия тоже равна 0:		После слияния капель по закону сохранения импульса скорость образовавшейся капли равна 0, значит кинетическая энергия тоже равна 0:

	$$Е_{2K}=0$$		$$Е_{2K}=0$$

	Поверхностная энергия после слияния:		Поверхностная энергия после слияния:

	$$Е_{2S}=4\pi R_{1}^{2}\sigma=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$		$$Е_{2S}=4\pi R_{1}^{2}\sigma=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$

	По закону сохранения заряда: $Q-Q=0$, то есть после слияния система електрически нейтральна, значит електрическая энергия равна 0:		По закону сохранения заряда: $Q-Q=0$, то есть после слияния система електрически нейтральна, значит електрическая энергия равна 0:

	$$Е_{2E}=0$$		$$Е_{2E}=0$$

	Итак, полная энергия системы до слияния:		Итак, полная энергия системы до слияния:

	$$E_{1}=E_{1K}+E_{1S}+E_{1E}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$		$$E_{1}=E_{1K}+E_{1S}+E_{1E}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$

	Полная энергия системы после слияния:		Полная энергия системы после слияния:

	$$E_{2}=E_{2K}+E_{2S}+E_{2E}=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$		$$E_{2}=E_{2K}+E_{2S}+E_{2E}=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$

	Разность энергий даст нам количество, выделившейся теплоты:		Разность энергий даст нам количество, выделившейся теплоты:

	$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}-4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$		$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}-4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$
	$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$		$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$
	@@ -67,8 +67,48 @@Решение

	$\textbf{б) }$ Теперь рассмотрим случай, когда заряды капель $−q$ и $Q$.		$\textbf{б) }$ Теперь рассмотрим случай, когда заряды капель $−q$ и $Q$.

			Кинетическая энергия до слияния будет та же:

			$$Е_{1K}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}$$

			Поверхностная энергия до слияния также будет та же:

			$$Е_{1S}=8\pi R^{2}\sigma$$

			Електрическая энергия системы будет суммой собственных електрических энергий капель с зарядами $−q$ и $Q$:

			$$E_{1E}=\frac{1}{2}\cdot \frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+\frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}=\frac{q^{2}+Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$

			После слияния капель их кинетическая энергия равна 0 (по той же причине, что и в случае а):

			$$Е_{2K}=0$$

			Поверхностная энергия после слияния такая же, как в случае а:

			$$Е_{2S}=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$

			После слияния по закону сохранению заряда, заряд капли станет $Q-q$ и её електрическая энергия будет:

			$$E_{2E}=\frac{1}{2}\cdot \frac{(Q-q)^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}}=\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}$$

			Итак, полная энергия системы до слияния:

			$$E_{1}=E_{1K}+E_{1S}+E_{1E}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{q^{2}+Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$

			Полная энергия системы после слияния:

			$$E_{2}=E_{2K}+E_{2S}+E_{2E}=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma+\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}$$

			Разность энергий даст нам количество, выделившейся теплоты:

			$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{q^{2}+Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma-\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}$$

			$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}+q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$

			В ответе задачника есть опечатки.

	#### Ответ		#### Ответ

	$$\textbf{а) } W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$		$$\textbf{а) } W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$

	$$\textbf{б) } W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}+q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$		$$\textbf{б) } W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}+q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$