8.3.7 | правка #14571 | Решения Савченко

Условие

8.3.7. Для нормальной работы прибора необходимо напряжение 20 В, а напряжение в сети 120 В. Экспериментатор подключил к цепи делитель напряжения с сопротивлением плеч 5 и 1 кОм и до подключения прибора высокоомным вольтметром проверил, что на втором сопротивлении напряжение действительно 20 В. Однако подключенный прибор не заработал. Экспериментатор сообразил в чем дело и добился нормальной работы прибора, подключив его к делителю напряжения с сопротивлением плеч 250 и 100 Ом. Найдите сопротивление прибора, если и в этом случае он подключен ко второму сопротивлению делителя.

Решение

Введём обозначения, пусть $В$U=120 \text{ В}$$ - напряжение сети; сопротивления на первом делители напряжения $кОм$R_{1}=5 \text{ кОм}$$ и $кОм$R_{2}=1 \text{ кОм}$$ ; сопротивления на втором делители напряжения $Ом$R_{1}^{'}=250 \text{ Ом}$$ и $Ом$R_{2}^{'}=100 \text{ Ом}$$ .

Сначала вольтметром (который считаем идеальным) измеряют напряжение на $R_{2}$ :

$В$$U_{R_{2}}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\cdot U=\frac{1}{5+1}\cdot 120=20 \text{ В}$$$

Напряжение то, что нужно, но прибор не заработал. Причиной этому есть то, что прибор имеет конечное сопротивление $пр$R_{пр}$$ и оно включается параллельно с $R_{2}$ , снижая общее сопротивление на этом плече и изменяя деление напряжения.

Теперь рассмотрим случай подключения второго делителя напряжения. Прибор подключается параллельно с $R_{2}^{'}$ , общее сопротивление:

$прпр$$R_{2}^{''}=\frac{R_{2}^{'}R_{пр}}{R_{2}^{'}+R_{пр}}$$$

Напряжение в делители:

$U_{R_{2}^{''}}=U\cdot \frac{R_{2}^{''}}{R_{1}^{'}+R_{2}^{''}}$

Нам нужно, чтобы это напряжение было равно 20 В:

$20=120\cdot \frac{R_{2}^{''}}{250+R_{2}^{''}}$

Отсюда найдём $R_{2}^{''}$ :

$Ом$$R_{2}^{''}=50 \text{ Ом}$$$

Таким образом:

$прпр$$\frac{R_{2}^{'}R_{пр}}{R_{2}^{'}+R_{пр}}=50$$$

Подставим $Ом$R_{2}^{'}=100 \text{ Ом}$$ :

$прпр$$\frac{100R_{пр}}{100+R_{пр}}=50$$$

Решая это уравнение отночительно $пр$R_{пр}$$ , получим:

$прОм$$R_{пр}=100\text{ Ом}$$$

Ответ

100 Ом