Решение

Введём обозначения, пусть $U=120 \text{ В}$ - напряжение сети; сопротивления на первом делители напряжения $R_{1}=5 \text{ кОм}$ и $R_{2}=1 \text{ кОм}$; сопротивления на втором делители напряжения $R_{1}^{'}=250 \text{ Ом}$ и $R_{2}^{'}=100 \text{ Ом}$.

Сначала вольтметром (который считаем идеальным) измеряют напряжение на $R_{2}$:

$$U_{R_{2}}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\cdot U=\frac{1}{5+1}\cdot 120=20 \text{ В}$$

Напряжение то, что нужно, но прибор не заработал. Причиной этому есть то, что прибор имеет конечное сопротивление $R_{пр}$ и оно включается параллельно с $R_{2}$, снижая общее сопротивление на этом плече и изменяя деление напряжения.

Теперь рассмотрим случай подключения второго делителя напряжения. Прибор подключается параллельно с $R_{2}^{'}$, общее сопротивление:

$$R_{2}^{''}=\frac{R_{2}^{'}R_{пр}}{R_{2}^{'}+R_{пр}}$$

Напряжение в делители:

$$U_{R_{2}^{''}}=U\cdot \frac{R_{2}^{''}}{R_{1}^{'}+R_{2}^{''}}$$

Нам нужно, чтобы это напряжение было равно 20 В:

$$20=120\cdot \frac{R_{2}^{''}}{250+R_{2}^{''}}$$

Отсюда найдём $R_{2}^{''}$:

$$R_{2}^{''}=50 \text{ Ом}$$

Таким образом:

$$\frac{R_{2}^{'}R_{пр}}{R_{2}^{'}+R_{пр}}=50$$

Подставим $R_{2}^{'}=100 \text{ Ом}$:

$$\frac{100R_{пр}}{100+R_{пр}}=50$$

Решая это уравнение отночительно $R_{пр}$, получим:

$$R_{пр}=100\text{ Ом}$$