Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/3.5.37.md
+48 −3
| @@ -1,11 +1,56 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.5.37.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $3.5.37.$ Осциллятор движется по закону $x=x_{0}\sin\omega t$, а вынуждающая сила, действующая на него, $F=F_{0}\cos\omega t$. Каков коэффициент затухания у осциллятора? Масса осциллятора $m$. | ||
| ### Решение | |||
| − | kjh | ||
| + | Осциллятор находится в установившемся режиме, его амплитуда постоянна (не растёт и не уменьшается). Это значит, что средняя работа вынуждающей силы компенсируется работой силы трения (демпфирующей силы). Иначе говоря, демпфирование не даёт амплитуде расти, но и вынуждающая сила не позволяет ей упасть. | ||
| + | Уравнение движения осциллятора с затуханием (второй закон Ньютона): | ||
| + | |||
| + | $$m\ddot{x}+2\gamma m\dot{x}+kx=F_{0}\cos\omega t$$ | ||
| + | |||
| + | где $\gamma$ - коэффициент затухания, $k$ - жёсткость системы. | ||
| + | |||
| + | По условию задачи нам дано $x=x_{0}\sin\omega t$, найдём скорость - первую производную по времени от координаты: | ||
| + | |||
| + | $$\dot{x}=x_{0}\omega\cos\omega t$$ | ||
| + | |||
| + | Подставляем в демпфирующую силу: | ||
| + | |||
| + | $$2\gamma m\dot{x}=2\gamma mx_{0}\omega\cos\omega t$$ | ||
| + | |||
| + | Чтобы амплитуда не изменялась, сила трения должна в среднем за период забирать столько же энергии, сколько в среднем за период даёт вынуждающая сила. | ||
| + | |||
| + | Мгновенная мощность, отдаваемая вынуждающей силой: | ||
| + | |||
| + | $$P_{F}=F_{0}\cos\omega t \cdot \dot{x}=F_{0}\cos\omega t \cdot x_{0}\omega\cos\omega t=F_{0}x_{0}\omega\cos^{2}(\omega t)$$ | ||
| + | |||
| + | Средняя мощность (усреднённая за период $T=\frac{2\pi}{\omega}$): | ||
| + | |||
| + | $$\left\langle P_{F} \right\rangle=F_{0}x_{0}\omega\cdot \left\langle \cos^{2}(\omega t) \right\rangle$$ | ||
| + | |||
| + | Мгновенная мощность демпфирующей силы: | ||
| + | |||
| + | $$P_{\gamma}=2\gamma m\dot{x}\cdot \dot{x}=2\gamma m\dot{x}^{2}=2\gamma m\left( x_{0}\omega\cos\omega t \right)^{2}=2\gamma mx_{0}^{2}\omega^{2}\cos^{2}(\omega t)$$ | ||
| + | |||
| + | Средняя мощность демпфирующей силы: | ||
| + | |||
| + | $$\left\langle P_{\gamma} \right\rangle=2\gamma mx_{0}^{2}\omega^{2}\left\langle \cos^{2}(\omega t) \right\rangle$$ | ||
| + | |||
| + | Приравниваем мощности сил: | ||
| + | |||
| + | $$\left\langle P_{F} \right\rangle=\left\langle P_{\gamma} \right\rangle$$ | ||
| + | $$F_{0}x_{0}\omega\cdot \left\langle \cos^{2}(\omega t) \right\rangle=2\gamma mx_{0}^{2}\omega^{2}\left\langle \cos^{2}(\omega t) \right\rangle$$ | ||
| + | |||
| + | Сокращаем: | ||
| + | |||
| + | $$F_{0}=2\gamma mx_{0}\omega$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда: | ||
| + | |||
| + | $$\gamma=\frac{F_{0}}{2x_{0}\omega m}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$\gamma=\frac{F_{0}}{2x_{0}\omega m}$$ | ||
| @@ -1,11 +1,56 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.5.37.$ [Вставьте условие задачи] | $3.5.37.$ Осциллятор движется по закону $x=x_{0}\sin\omega t$, а вынуждающая сила, действующая на него, $F=F_{0}\cos\omega t$. Каков коэффициент затухания у осциллятора? Масса осциллятора $m$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| kjh | Осциллятор находится в установившемся режиме, его амплитуда постоянна (не растёт и не уменьшается). Это значит, что средняя работа вынуждающей силы компенсируется работой силы трения (демпфирующей силы). Иначе говоря, демпфирование не даёт амплитуде расти, но и вынуждающая сила не позволяет ей упасть. | ||
| Уравнение движения осциллятора с затуханием (второй закон Ньютона): | |||
| $$m\ddot{x}+2\gamma m\dot{x}+kx=F_{0}\cos\omega t$$ | |||
| где $\gamma$ - коэффициент затухания, $k$ - жёсткость системы. | |||
| По условию задачи нам дано $x=x_{0}\sin\omega t$, найдём скорость - первую производную по времени от координаты: | |||
| $$\dot{x}=x_{0}\omega\cos\omega t$$ | |||
| Подставляем в демпфирующую силу: | |||
| $$2\gamma m\dot{x}=2\gamma mx_{0}\omega\cos\omega t$$ | |||
| Чтобы амплитуда не изменялась, сила трения должна в среднем за период забирать столько же энергии, сколько в среднем за период даёт вынуждающая сила. | |||
| Мгновенная мощность, отдаваемая вынуждающей силой: | |||
| $$P_{F}=F_{0}\cos\omega t \cdot \dot{x}=F_{0}\cos\omega t \cdot x_{0}\omega\cos\omega t=F_{0}x_{0}\omega\cos^{2}(\omega t)$$ | |||
| Средняя мощность (усреднённая за период $T=\frac{2\pi}{\omega}$): | |||
| $$\left\langle P_{F} \right\rangle=F_{0}x_{0}\omega\cdot \left\langle \cos^{2}(\omega t) \right\rangle$$ | |||
| Мгновенная мощность демпфирующей силы: | |||
| $$P_{\gamma}=2\gamma m\dot{x}\cdot \dot{x}=2\gamma m\dot{x}^{2}=2\gamma m\left( x_{0}\omega\cos\omega t \right)^{2}=2\gamma mx_{0}^{2}\omega^{2}\cos^{2}(\omega t)$$ | |||
| Средняя мощность демпфирующей силы: | |||
| $$\left\langle P_{\gamma} \right\rangle=2\gamma mx_{0}^{2}\omega^{2}\left\langle \cos^{2}(\omega t) \right\rangle$$ | |||
| Приравниваем мощности сил: | |||
| $$\left\langle P_{F} \right\rangle=\left\langle P_{\gamma} \right\rangle$$ | |||
| $$F_{0}x_{0}\omega\cdot \left\langle \cos^{2}(\omega t) \right\rangle=2\gamma mx_{0}^{2}\omega^{2}\left\langle \cos^{2}(\omega t) \right\rangle$$ | |||
| Сокращаем: | |||
| $$F_{0}=2\gamma mx_{0}\omega$$ | |||
| Отсюда: | |||
| $$\gamma=\frac{F_{0}}{2x_{0}\omega m}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$\gamma=\frac{F_{0}}{2x_{0}\omega m}$$ | ||