Решение

Осциллятор находится в установившемся режиме, его амплитуда постоянна (не растёт и не уменьшается). Это значит, что средняя работа вынуждающей силы компенсируется работой силы трения (демпфирующей силы). Иначе говоря, демпфирование не даёт амплитуде расти, но и вынуждающая сила не позволяет ей упасть.

Уравнение движения осциллятора с затуханием (второй закон Ньютона):

$$m\ddot{x}+2\gamma m\dot{x}+kx=F_{0}\cos\omega t$$

где $\gamma$ - коэффициент затухания, $k$ - жёсткость системы.

По условию задачи нам дано $x=x_{0}\sin\omega t$, найдём скорость - первую производную по времени от координаты:

$$\dot{x}=x_{0}\omega\cos\omega t$$

Подставляем в демпфирующую силу:

$$2\gamma m\dot{x}=2\gamma mx_{0}\omega\cos\omega t$$

Чтобы амплитуда не изменялась, сила трения должна в среднем за период забирать столько же энергии, сколько в среднем за период даёт вынуждающая сила.

Мгновенная мощность, отдаваемая вынуждающей силой:

$$P_{F}=F_{0}\cos\omega t \cdot \dot{x}=F_{0}\cos\omega t \cdot x_{0}\omega\cos\omega t=F_{0}x_{0}\omega\cos^{2}(\omega t)$$

Средняя мощность (усреднённая за период $T=\frac{2\pi}{\omega}$):

$$\left\langle P_{F} \right\rangle=F_{0}x_{0}\omega\cdot \left\langle \cos^{2}(\omega t) \right\rangle$$

Мгновенная мощность демпфирующей силы:

$$P_{\gamma}=2\gamma m\dot{x}\cdot \dot{x}=2\gamma m\dot{x}^{2}=2\gamma m\left( x_{0}\omega\cos\omega t \right)^{2}=2\gamma mx_{0}^{2}\omega^{2}\cos^{2}(\omega t)$$

Средняя мощность демпфирующей силы:

$$\left\langle P_{\gamma} \right\rangle=2\gamma mx_{0}^{2}\omega^{2}\left\langle \cos^{2}(\omega t) \right\rangle$$

Приравниваем мощности сил:

$$\left\langle P_{F} \right\rangle=\left\langle P_{\gamma} \right\rangle$$
$$F_{0}x_{0}\omega\cdot \left\langle \cos^{2}(\omega t) \right\rangle=2\gamma mx_{0}^{2}\omega^{2}\left\langle \cos^{2}(\omega t) \right\rangle$$

Сокращаем:

$$F_{0}=2\gamma mx_{0}\omega$$

Отсюда:

$$\gamma=\frac{F_{0}}{2x_{0}\omega m}$$