$а)$ Составляющая индукции аксиально-симметричного магнитно- го поля, направленная вдоль оси симметрии поля, линейно зависит от $x$: $B_x = B_0\frac{x}{x_0}$, где $x_0$ и $B_0$ — постоянные. Определите зависимость радиальной составляющей индукции поля от расстояния до оси. Как зависит угол наклона поля к его оси симметрии от $x$ и $r$? Нарисуйте линии индукции этого поля.
$б)$ Составляющая индукции магнитного поля в предыдущей задаче меняется вдоль оси по закону $B_x = B_0(\frac{x}{x0})^n$. Определите радиальную составляющую индукции поля. Как определить $B_r$ в общем случае, когда $B_x = B_0f(x)$?
Решение
$а)$"Нанижем" на ось симметрии поля тонкий цилиндр радиуса $r$ и толщины $\Delta x$. Такой цилиндр является замкнутой поверхностью, значит для него верна теорема Гаусса для магнитного поля:
$$\oint \vec Bd\vec S=0\tag{1}$$
Пусть одно основание цилиндра имеет координату $x$, тогда другое $x+\Delta x$. Помним, что поток "входящего" в поверхность магнитного поля отрицателен, "выходящего"- положителен. Согласно (1):
$$-B_x(x)S_{base}+B_{x}(x+\Delta x)S_{base}-B_rS_{side}=0\tag{2}$$
$$B_r=\frac{r}{2x_0}B_0\tag{3}$$ У Савченко тут опечатка, $x_0$ вместо $x$.
Тангенс угла наклона поля равен отношению $$tg\alpha=\frac{B_r}{B_x}=\frac{rB_0}{2x_0}\cdot\frac{x_0}{x B_0}=\frac{r}{2x}\tag{4}$$ Нарисовать линии индукции этого поля можно из следующих соображений: при больших значениях $x$ линии почти сливаютя друг с другом, при малых $x$ расстояние между линиями большое. Можно заметить, что при $x\to 0$$B_{total}\to B_r$, значит $\alpha\to\frac{\pi}{2}$, при $x\to \infty$ ($B_{total}\to B_x$):$\alpha\to0$. Результат на рисунке:
$б)$ Ответим сначала на второй вопрос. Для этого перепишем (2):
$$B_0(f(x+\Delta x)-f(x))\cdot\pi r^2=B_r\cdot 2\pi r\Delta x\tag{5}$$$$B_r=\frac{1}{2}B_0r\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
Определение производной:
$$f'(x0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
Поэтому при $\Delta x\to 0$ мы можем записать
$$B_r=\frac{1}{2}B_0r\frac{df(x)}{dx}$$
Пользуясь этим ответим на первый вопрос:
$$B_r=\frac{1}{2}B_0r((\frac{x}{x0})^n)'=\frac{1}{2}B_0n\frac{r}{x_0}(\frac{x}{x0})^{n-1}$$
