Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/9.4.8.md
+32 −17
| @@ -1,26 +1,41 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $9.4.8.$ | ||
| + | $9.4.8.$ | ||
| − | ### Решение | ||
| + | $а)$ Составляющая индукции аксиально-симметричного магнитно- | ||
| + | го поля, направленная вдоль оси симметрии поля, линейно зависит от $x$: | ||
| + | $B_x = B_0\frac{x}{x_0}$, где $x_0$ и $B_0$ — постоянные. Определите зависимость радиальной составляющей индукции поля от расстояния до оси. Как зависит угол наклона поля к его оси симметрии от $x$ и $r$? Нарисуйте линии индукции этого поля. | ||
| − |  | ||
| + | $б)$ Составляющая индукции магнитного поля в предыдущей задаче меняется вдоль оси по | ||
| + | закону $B_x = B_0(\frac{x}{x0})^n$. Определите радиальную составляющую индукции поля. Как определить $B_r$ в общем случае, когда | ||
| + | $B_x = B_0f(x)$? | ||
| − |  | ||
| + | $а)$"Нанижем" на ось симметрии поля тонкий цилиндр радиуса $r$ и толщины $\Delta x$. Такой цилиндр является замкнутой поверхностью, значит для него верна теорема Гаусса для магнитного поля: | ||
| + | $$\oint \vec Bd\vec S=0\tag{1}$$ | ||
| + | Пусть одно основание цилиндра имеет координату $x$, тогда другое $x+\Delta x$. Помним, что поток "входящего" в поверхность магнитного поля отрицателен, "выходящего"- положителен. Согласно (1): | ||
| + | $$-B_x(x)S_{base}+B_{x}(x+\Delta x)S_{base}-B_rS_{side}=0\tag{2}$$ | ||
| − | а. Составляющая индукции аксиально-симметричного магнитно- | ||
| − | |||
| − | Bx = B0x/x0, где x0 и B0 — постоянные. Опре- | ||
| − | делите зависимость радиальной составляющей | ||
| − | индукции поля от расстояния до оси. Как зави- | ||
| − | сит угол наклона поля к его оси симметрии от x | ||
| − | и r? Нарисуйте линии индукции этого поля. | ||
| − | б. Составляющая индукции магнитного по- | ||
| − | ля в предыдущей задаче меняется вдоль оси по | ||
| − | закону B = B0(x/x0)n. Определите радиаль- | ||
| − | ную составляющую индукции поля. Как определить Br в общем случае, когда | ||
| − | $B_x = B_0f(x)$? | ||
| + | $$B_r=\frac{r}{2x_0}B_0\tag{3}$$ | ||
| + | У Савченко тут опечатка, $x_0$ вместо $x$. | ||
| + | Тангенс угла наклона поля равен отношению | ||
| + | $$tg\alpha=\frac{B_r}{B_x}=\frac{rB_0}{2x_0}\cdot\frac{x_0}{x B_0}=\frac{r}{2x}\tag{4}$$ | ||
| + | Нарисовать линии индукции этого поля можно из следующих соображений: при больших значениях $x$ линии почти сливаютя друг с другом, при малых $x$ расстояние между линиями большое. Можно заметить, что при $x\to 0$ $B_{total}\to B_r$, значит $\alpha\to\frac{\pi}{2}$, при $x\to \infty$ ($B_{total}\to B_x$): $\alpha\to0$. Результат на рисунке: | ||
| + |  | ||
| + | $б)$ Ответим сначала на второй вопрос. Для этого перепишем (2): | ||
| + | $$B_0(f(x+\Delta x)-f(x))\cdot\pi r^2=B_r\cdot 2\pi r\Delta x\tag{5}$$ | ||
| + | $$B_r=\frac{1}{2}B_0r\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ | ||
| + | Определение производной: | ||
| + | $$f'(x0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ | ||
| + | Поэтому при $\Delta x\to 0$ мы можем записать | ||
| + | $$B_r=\frac{1}{2}B_0r\frac{df(x)}{dx}$$ | ||
| + | Пользуясь этим ответим на первый вопрос: | ||
| + | $$B_r=\frac{1}{2}B_0r((\frac{x}{x0})^n)'=\frac{1}{2}B_0n\frac{r}{x_0}(\frac{x}{x0})^{n-1}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $a) B_r=\frac{r}{2x_0}B_0$, $tg\alpha=\frac{r}{2x}$ | ||
| + | |||
| + | $б) B_r=\frac{1}{2}B_0n\frac{r}{x_0}(\frac{x}{x0})^{n-1}, B_r=\frac{1}{2}B_0r\frac{df(x)}{dx}$ | ||
| @@ -1,26 +1,41 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $9.4.8.$ |
$9.4.8.$ | ||
| ### Решение | $а)$ Составляющая индукции аксиально-симметричного магнитно- | ||
| го поля, направленная вдоль оси симметрии поля, линейно зависит от $x$: | |||
| $B_x = B_0\frac{x}{x_0}$, где $x_0$ и $B_0$ — постоянные. Определите зависимость радиальной составляющей индукции поля от расстояния до оси. Как зависит угол наклона поля к его оси симметрии от $x$ и $r$? Нарисуйте линии индукции этого поля. | |||
|  | $б)$ Составляющая индукции магнитного поля в предыдущей задаче меняется вдоль оси по | ||
| закону $B_x = B_0(\frac{x}{x0})^n$. Определите радиальную составляющую индукции поля. Как определить $B_r$ в общем случае, когда | |||
| $B_x = B_0f(x)$? | |||
|  | |||
| $а)$"Нанижем" на ось симметрии поля тонкий цилиндр радиуса $r$ и толщины $\Delta x$. Такой цилиндр является замкнутой поверхностью, значит для него верна теорема Гаусса для магнитного поля: | |||
| $$\oint \vec Bd\vec S=0\tag{1}$$ | |||
| Пусть одно основание цилиндра имеет координату $x$, тогда другое $x+\Delta x$. Помним, что поток "входящего" в поверхность магнитного поля отрицателен, "выходящего"- положителен. Согласно (1): | |||
| $$-B_x(x)S_{base}+B_{x}(x+\Delta x)S_{base}-B_rS_{side}=0\tag{2}$$ | |||
| а. Составляющая индукции аксиально-симметричного магнитно- | $$B_r=\frac{r}{2x_0}B_0\tag{3}$$ | ||
| У Савченко тут опечатка, $x_0$ вместо $x$. | |||
| Bx = B0x/x0, где x0 и B0 — постоянные. Опре- | |||
| делите зависимость радиальной составляющей | |||
| индукции поля от расстояния до оси. Как зави- | |||
| сит угол наклона поля к его оси симметрии от x | |||
| и r? Нарисуйте линии индукции этого поля. | |||
| б. Составляющая индукции магнитного по- | |||
| ля в предыдущей задаче меняется вдоль оси по | |||
| закону B = B0(x/x0)n. Определите радиаль- | |||
| ную составляющую индукции поля. Как определить Br в общем случае, когда | |||
| $B_x = B_0f(x)$? | |||
| Тангенс угла наклона поля равен отношению | |||
| $$tg\alpha=\frac{B_r}{B_x}=\frac{rB_0}{2x_0}\cdot\frac{x_0}{x B_0}=\frac{r}{2x}\tag{4}$$ | |||
| Нарисовать линии индукции этого поля можно из следующих соображений: при больших значениях $x$ линии почти сливаютя друг с другом, при малых $x$ расстояние между линиями большое. Можно заметить, что при $x\to 0$ $B_{total}\to B_r$, значит $\alpha\to\frac{\pi}{2}$, при $x\to \infty$ ($B_{total}\to B_x$): $\alpha\to0$. Результат на рисунке: | |||
|  | |||
| $б)$ Ответим сначала на второй вопрос. Для этого перепишем (2): | |||
| $$B_0(f(x+\Delta x)-f(x))\cdot\pi r^2=B_r\cdot 2\pi r\Delta x\tag{5}$$ | |||
| $$B_r=\frac{1}{2}B_0r\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ | |||
| Определение производной: | |||
| $$f'(x0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ | |||
| Поэтому при $\Delta x\to 0$ мы можем записать | |||
| $$B_r=\frac{1}{2}B_0r\frac{df(x)}{dx}$$ | |||
| Пользуясь этим ответим на первый вопрос: | |||
| $$B_r=\frac{1}{2}B_0r((\frac{x}{x0})^n)'=\frac{1}{2}B_0n\frac{r}{x_0}(\frac{x}{x0})^{n-1}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $a) B_r=\frac{r}{2x_0}B_0$, $tg\alpha=\frac{r}{2x}$ | ||
| $б) B_r=\frac{1}{2}B_0n\frac{r}{x_0}(\frac{x}{x0})^{n-1}, B_r=\frac{1}{2}B_0r\frac{df(x)}{dx}$ | |||