Правка раздела «Решение»

jzmicer правка от 14 июн. 2025 г., 16:52

правка #14723 предыдущая #14722 ← раньше

ru/9.4.13.md +3 −3

			### Условие

			$9.4.13.$ Взаимной индуктивностью двух контуров называется коэффициент пропорциональности между током в одном из контуров и создаваемым им магнитным потоком, пронизывающим второй контур. Определите взаимную индуктивность:

			$а)$ двух круговых контуров радиуса $r$ и $R$, расположенных на одной
			оси симметрии на расстоянии друг от друга $l ≫ r$, $R$;

			$б)$ длинного соленоида радиуса $r$, содержащего $n$ витков на единицу длины, и кругового контура, охватывающего этот соленоид.
			(В оригинальном условии опечатка, поэтому в нашем решении будем считать, что $r$ - радиус кругового контура, а не соленоида)

			### Решение
			По определению взаимной индукции
			$$L_{12}=\frac{\Phi}{I}$$
			Согласно теореме о взаимности $L_{12}=L_{21}$, поэтому "пускать ток" можно через любой контур.
		@@ -15,10 +15,10 @@Решение

			$а)$
			Найдём магнитное поле на оси кругового контура, напимер, радиуса $R$.
		−	![К задаче $9.4.13$\|342x376, 40%](../../img/9.4.13/9.4.13.png)
		+	![К задаче $9.4.13$\|342x376, 50%](../../img/9.4.13/9.4.13 â ÐºÐ¾Ð¿Ð¸Ñ.png)
			По теореме Био-Савара-Лапласа:
		−	$$dB=\frac{\mu_0 Idl}{4\pi R^2 }$$
		−	$$B=\int dBcos\beta=\frac{\mu_0 I}{4\pi r^2 }\int_0^{2\pi R}dl\cdot\frac{R}{r}=\frac{\mu_0 IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$$
		+	$$dB=\frac{\mu_0 Idl}{4\pi h^2 }$$
		+	$$B=\int dBcos\beta=\frac{\mu_0 I}{4\pi h^2 }\int_0^{2\pi R}dl\cdot\frac{R}{h}=\frac{\mu_0 IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$$
			Учитвывая, $l ≫ r$ что можно считать поле внутри кольца радиуса $r$ однородно и равно (учитывая, что $l ≫ R$):
			$$B\approx\frac{\mu_0 IR^2}{2l^3}$$
			Тогда, учитывая что линии индукции магнитного поля практически перпендикулярны плоскости кольца ($r$)
			$$L_{12}=\frac{\Phi}{I}=\frac{BS}{I}=\frac{\mu_0 R^2\cdot \pi r^2}{2l^3}$$
			P.S. У Савченко снова опечатка, нету двойки в знаменателе

			$б)$
			Поле внутри соленоида
			$$B=\mu_0 nI$$
			проходит через плоскость кольца. Тогда
			$$L_{12}=\frac{\Phi}{I}=\frac{B\cdot \pi r^2}{I}=\mu_0n\pi r^2$$
			#### Ответ

			$а. L = \mu_0\pi\frac{(rR)^2}{2l^3}$

			$б. L = \mu_0n\pi r^2$
		ещё строк без изменений 13

	### Условие		### Условие

	$9.4.13.$ Взаимной индуктивностью двух контуров называется коэффициент пропорциональности между током в одном из контуров и создаваемым им магнитным потоком, пронизывающим второй контур. Определите взаимную индуктивность:		$9.4.13.$ Взаимной индуктивностью двух контуров называется коэффициент пропорциональности между током в одном из контуров и создаваемым им магнитным потоком, пронизывающим второй контур. Определите взаимную индуктивность:

	$а)$ двух круговых контуров радиуса $r$ и $R$, расположенных на одной		$а)$ двух круговых контуров радиуса $r$ и $R$, расположенных на одной
	оси симметрии на расстоянии друг от друга $l ≫ r$, $R$;		оси симметрии на расстоянии друг от друга $l ≫ r$, $R$;

	$б)$ длинного соленоида радиуса $r$, содержащего $n$ витков на единицу длины, и кругового контура, охватывающего этот соленоид.		$б)$ длинного соленоида радиуса $r$, содержащего $n$ витков на единицу длины, и кругового контура, охватывающего этот соленоид.
	(В оригинальном условии опечатка, поэтому в нашем решении будем считать, что $r$ - радиус кругового контура, а не соленоида)		(В оригинальном условии опечатка, поэтому в нашем решении будем считать, что $r$ - радиус кругового контура, а не соленоида)

	### Решение		### Решение
	По определению взаимной индукции		По определению взаимной индукции
	$$L_{12}=\frac{\Phi}{I}$$		$$L_{12}=\frac{\Phi}{I}$$
	Согласно теореме о взаимности $L_{12}=L_{21}$, поэтому "пускать ток" можно через любой контур.		Согласно теореме о взаимности $L_{12}=L_{21}$, поэтому "пускать ток" можно через любой контур.
	@@ -15,10 +15,10 @@Решение

	$а)$		$а)$
	Найдём магнитное поле на оси кругового контура, напимер, радиуса $R$.		Найдём магнитное поле на оси кругового контура, напимер, радиуса $R$.
	![К задаче $9.4.13$\|342x376, 40%](../../img/9.4.13/9.4.13.png)		![К задаче $9.4.13$\|342x376, 50%](../../img/9.4.13/9.4.13 â ÐºÐ¾Ð¿Ð¸Ñ.png)
	По теореме Био-Савара-Лапласа:		По теореме Био-Савара-Лапласа:
	$$dB=\frac{\mu_0 Idl}{4\pi R^2 }$$		$$dB=\frac{\mu_0 Idl}{4\pi h^2 }$$
	$$B=\int dBcos\beta=\frac{\mu_0 I}{4\pi r^2 }\int_0^{2\pi R}dl\cdot\frac{R}{r}=\frac{\mu_0 IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$$		$$B=\int dBcos\beta=\frac{\mu_0 I}{4\pi h^2 }\int_0^{2\pi R}dl\cdot\frac{R}{h}=\frac{\mu_0 IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$$
	Учитвывая, $l ≫ r$ что можно считать поле внутри кольца радиуса $r$ однородно и равно (учитывая, что $l ≫ R$):		Учитвывая, $l ≫ r$ что можно считать поле внутри кольца радиуса $r$ однородно и равно (учитывая, что $l ≫ R$):
	$$B\approx\frac{\mu_0 IR^2}{2l^3}$$		$$B\approx\frac{\mu_0 IR^2}{2l^3}$$
	Тогда, учитывая что линии индукции магнитного поля практически перпендикулярны плоскости кольца ($r$)		Тогда, учитывая что линии индукции магнитного поля практически перпендикулярны плоскости кольца ($r$)
	$$L_{12}=\frac{\Phi}{I}=\frac{BS}{I}=\frac{\mu_0 R^2\cdot \pi r^2}{2l^3}$$		$$L_{12}=\frac{\Phi}{I}=\frac{BS}{I}=\frac{\mu_0 R^2\cdot \pi r^2}{2l^3}$$
	P.S. У Савченко снова опечатка, нету двойки в знаменателе		P.S. У Савченко снова опечатка, нету двойки в знаменателе

	$б)$		$б)$
	Поле внутри соленоида		Поле внутри соленоида
	$$B=\mu_0 nI$$		$$B=\mu_0 nI$$
	проходит через плоскость кольца. Тогда		проходит через плоскость кольца. Тогда
	$$L_{12}=\frac{\Phi}{I}=\frac{B\cdot \pi r^2}{I}=\mu_0n\pi r^2$$		$$L_{12}=\frac{\Phi}{I}=\frac{B\cdot \pi r^2}{I}=\mu_0n\pi r^2$$
	#### Ответ		#### Ответ

	$а. L = \mu_0\pi\frac{(rR)^2}{2l^3}$		$а. L = \mu_0\pi\frac{(rR)^2}{2l^3}$

	$б. L = \mu_0n\pi r^2$		$б. L = \mu_0n\pi r^2$
	ещё строк без изменений 13