9.4.13. Взаимной индуктивностью двух контуров называется коэффициент пропорциональности между током в одном из контуров и создаваемым им магнитным потоком, пронизывающим второй контур. Определите взаимную индуктивность:
$а)$ двух круговых контуров радиуса $r$ и $R$, расположенных на одной оси симметрии на расстоянии друг от друга $l ≫ r$,$R$;
$б)$ длинного соленоида радиуса $r$, содержащего $n$ витков на единицу длины, и кругового контура, охватывающего этот соленоид. (В оригинальном условии опечатка, поэтому в нашем решении будем считать, что $r$ - радиус кругового контура, а не соленоида)
Решение
По определению взаимной индукции $$L_{12}=\frac{\Phi}{I}$$ Согласно теореме о взаимности $L_{12}=L_{21}$, поэтому "пускать ток" можно через любой контур.
$а)$ Найдём магнитное поле на оси кругового контура, напимер, радиуса $R$.
К задаче $9.4.13$
По теореме Био-Савара-Лапласа:
$$dB=\frac{\mu_0 Idl}{4\pi h^2 }$$$$B=\int dBcos\beta=\frac{\mu_0 I}{4\pi h^2 }\int_0^{2\pi R}dl\cdot\frac{R}{h}=\frac{\mu_0 IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$$
Учитвывая, $l ≫ r$ что можно считать поле внутри кольца радиуса $r$ однородно и равно (учитывая, что $l ≫ R$):$$B\approx\frac{\mu_0 IR^2}{2l^3}$$
Тогда, учитывая что линии индукции магнитного поля практически перпендикулярны плоскости кольца ($r$)$$L_{12}=\frac{\Phi}{I}=\frac{BS}{I}=\frac{\mu_0 R^2\cdot \pi r^2}{2l^3}$$
P.S. У Савченко снова опечатка, нету двойки в знаменателе
$б)$ Поле внутри соленоида $$B=\mu_0 nI$$ проходит через плоскость кольца. Тогда $$L_{12}=\frac{\Phi}{I}=\frac{B\cdot \pi r^2}{I}=\mu_0n\pi r^2$$
