Решение

Шарик начнёт выкатываться, когда вертикальная линия, проходящая через центр шара (линия действия силы тяжести), выйдет за пределы опоры, то есть не будет проходить через точку касания с лункой.

Из рисунка видно, что предельный угол наклона доски:

$$\cos\alpha=\frac{R-h}{R}=\frac{R-\frac{R}{2}}{R}=\frac{1}{2}$$

где $h$ - глубина лунки.

$$\alpha=\arccos\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{\pi}{3}$$

Таким образом, если доска наклонена на угол $\alpha\gt \frac{\pi}{3}$, то центр масс шарика находится над краем лунки, и дальше шарик уже не удерживается — он теряет устойчивость и выкатывается.