Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от 16 июн. 2025 г., 10:16

правка #14732 предыдущая #14731 ← раньше

ru/4.3.11.md +32 −3

		@@ -1,11 +1,40 @@
			### Условие

		−	$4.3.11.$ ~~[Вставьте условие задачи]~~
		+	$4.3.11.$ Во сколько раз увеличится сброс воды через широкую плотину, если высота уровня воды над кромкой возрастает в два раза?

		+	![К задаче $4.3.11$\|231x167, 30%](../../img/4.3.11/4.3.11.png)
		+
			### Решение

		−	hjg
		+	Считаем поток воды установившимся. Воду считаем идеальной жидкостью. Давление на свободной поверхности — атмосферное. Обозначим ширину плотины $L$.

		+	Рассмотрим две точки на одной линии тока:
		+
		+	точка 1 — внутри объёма воды до водослива, на глубине $y$ под свободной поверхностью. Для этой точки давление $P=P_{атм}+\rho gy$, скорость можна считать почти нулевой (находимся далеко от места сброса воды);
		+
		+	точка 2 - на выходе линии тока в воздух. Для этой точки давление $P=P_{атм}$, скорость - $\upsilon$.
		+
		+	Запишем уравнение Бернулли для данной линии тока воды:
		+
		+	$$P_{атм}+\rho gy=P_{атм}+\frac{1}{2}\rho\upsilon^{2}$$
		+	$$\upsilon=\sqrt{2gy}$$
		+
		+	Сброс воды $Q$ это величина, которая характеризует, сколько воды проходит через площадку за единицу времени. По определению:
		+
		+	$$dQ=L\cdot dy\cdot \upsilon=L\sqrt{2gy}\cdot dy$$
		+
		+	Проинтегрируем по высоте уровня воды от 0 до $h$:
		+
		+	$$Q_{h}=L\sqrt{2g} \int_{0}^{h} \sqrt{y}\cdot dy=\frac{2}{3}L\sqrt{2g}\cdot h^{\frac{3}{2}}$$
		+
		+	Если высота уровня воды увеличится в 2 раза, то новый расход будет:
		+
		+	$$Q_{2h}=\frac{2}{3}L\sqrt{2g}\cdot (2h)^{\frac{3}{2}}$$
		+
		+	Отношение расходов:
		+
		+	$$\frac{Q_{2h}}{Q_{h}}=2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}$$
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	Размеры продольного сечения струи увеличатся в 2 раза. Скорость подобных участков в струе увеличится в $\sqrt{2}$ раз. Поэтому сброс увеличится в $2\sqrt{2}$ раза.

	@@ -1,11 +1,40 @@
	### Условие		### Условие

	$4.3.11.$ ~~[Вставьте условие задачи]~~		$4.3.11.$ Во сколько раз увеличится сброс воды через широкую плотину, если высота уровня воды над кромкой возрастает в два раза?

			![К задаче $4.3.11$\|231x167, 30%](../../img/4.3.11/4.3.11.png)

	### Решение		### Решение

	hjg		Считаем поток воды установившимся. Воду считаем идеальной жидкостью. Давление на свободной поверхности — атмосферное. Обозначим ширину плотины $L$.

			Рассмотрим две точки на одной линии тока:

			точка 1 — внутри объёма воды до водослива, на глубине $y$ под свободной поверхностью. Для этой точки давление $P=P_{атм}+\rho gy$, скорость можна считать почти нулевой (находимся далеко от места сброса воды);

			точка 2 - на выходе линии тока в воздух. Для этой точки давление $P=P_{атм}$, скорость - $\upsilon$.

			Запишем уравнение Бернулли для данной линии тока воды:

			$$P_{атм}+\rho gy=P_{атм}+\frac{1}{2}\rho\upsilon^{2}$$
			$$\upsilon=\sqrt{2gy}$$

			Сброс воды $Q$ это величина, которая характеризует, сколько воды проходит через площадку за единицу времени. По определению:

			$$dQ=L\cdot dy\cdot \upsilon=L\sqrt{2gy}\cdot dy$$

			Проинтегрируем по высоте уровня воды от 0 до $h$:

			$$Q_{h}=L\sqrt{2g} \int_{0}^{h} \sqrt{y}\cdot dy=\frac{2}{3}L\sqrt{2g}\cdot h^{\frac{3}{2}}$$

			Если высота уровня воды увеличится в 2 раза, то новый расход будет:

			$$Q_{2h}=\frac{2}{3}L\sqrt{2g}\cdot (2h)^{\frac{3}{2}}$$

			Отношение расходов:

			$$\frac{Q_{2h}}{Q_{h}}=2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}$$

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		Размеры продольного сечения струи увеличатся в 2 раза. Скорость подобных участков в струе увеличится в $\sqrt{2}$ раз. Поэтому сброс увеличится в $2\sqrt{2}$ раза.