Решение

Считаем поток воды установившимся. Воду считаем идеальной жидкостью. Давление на свободной поверхности — атмосферное. Обозначим ширину плотины $L$.

Рассмотрим две точки на одной линии тока:

точка 1 — внутри объёма воды до водослива, на глубине $y$ под свободной поверхностью. Для этой точки давление $P=P_{атм}+\rho gy$, скорость можна считать почти нулевой (находимся далеко от места сброса воды);

точка 2 - на выходе линии тока в воздух. Для этой точки давление $P=P_{атм}$, скорость - $\upsilon$.

Запишем уравнение Бернулли для данной линии тока воды:

$$P_{атм}+\rho gy=P_{атм}+\frac{1}{2}\rho\upsilon^{2}$$
$$\upsilon=\sqrt{2gy}$$

Сброс воды $Q$ это величина, которая характеризует, сколько воды проходит через площадку за единицу времени. По определению:

$$dQ=L\cdot dy\cdot \upsilon=L\sqrt{2gy}\cdot dy$$

Проинтегрируем по высоте уровня воды от 0 до $h$:

$$Q_{h}=L\sqrt{2g} \int_{0}^{h} \sqrt{y}\cdot dy=\frac{2}{3}L\sqrt{2g}\cdot h^{\frac{3}{2}}$$

Если высота уровня воды увеличится в 2 раза, то новый расход будет:

$$Q_{2h}=\frac{2}{3}L\sqrt{2g}\cdot (2h)^{\frac{3}{2}}$$

Отношение расходов:

$$\frac{Q_{2h}}{Q_{h}}=2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}$$