$9.3.18.$ Ток $I$ по длинному прямому проводу входит в проводник перпендикулярно его поверхности и равномерно растекается по нему. Как зависит индукция магнитного поля внутри проводника от угла $\beta$ и расстояния $r$?
### Решение
Все точки проводника с одинаковыми $r$ и $\beta$, как нетрудно заметить, составляют окружность. Радиус такой окружности будет равен $R=rsin\beta$
Тогда воспользуемся теоремой о циркуляции $B$ по замкнутому контуру
$$\int Bdl=\mu_0\sum I\tag{1}$$
для этой окружности. Её лина равна $l=2\pi rsin\beta$
Ток, согласно условию, течет одинаково во всех направлениях, причем видимо поверхность проводника вблизи точки присоединения провода можно считать плоской.
Тогда отношению тока, текщего через нашу окружность, к полному току равно $\frac{I'}{I}=\frac{\Omega}{2\pi}$, где $\Omega$ - телесный угол, под которым окружность видна из точки присоединения провода.
Рассмотрим сферу радиусом $R$ с центром в вершине конуса.
Конус вырезает на этой сфере часть поверхности, которая представляет собой сферический сегмент (шапочку).
Элемент площади $dS$ на сфере в сферических координатах выражается как
@@ -33,10 +33,10 @@Решение
$$dS = R^2 \sin\theta \ d\theta \ d\varphi$$ где $\theta$ — полярный угол (отклонение от оси), а $\varphi$ — азимутальный угол (угол поворота вокруг оси).
Для прямого конуса с углом полураствора $\beta$, полярный угол $\theta$ изменяется от $0$ до $\beta$, а азимутальный угол $\varphi$ изменяется от $0$ до $2\pi$ (полный оборот).
Подставляем полученное выражение в определение телесного угла:
$$\Omega = \frac{S}{R^2} = 2\pi (1 - \cos\beta)$$
#### Ответ
$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}tg\frac{\beta}{2}$
### Условие
### Условие
$9.3.18.$ Ток $I$ по длинному прямому проводу входит в проводник перпендикулярно его поверхности и равномерно растекается по нему. Как зависит индукция магнитного поля внутри проводника от угла $\beta$ и расстояния $r$?
$9.3.18.$ Ток $I$ по длинному прямому проводу входит в проводник перпендикулярно его поверхности и равномерно растекается по нему. Как зависит индукция магнитного поля внутри проводника от угла $\beta$ и расстояния $r$?
### Решение
### Решение
Все точки проводника с одинаковыми $r$ и $\beta$, как нетрудно заметить, составляют окружность. Радиус такой окружности будет равен $R=rsin\beta$
Все точки проводника с одинаковыми $r$ и $\beta$, как нетрудно заметить, составляют окружность. Радиус такой окружности будет равен $R=rsin\beta$
Тогда воспользуемся теоремой о циркуляции $B$ по замкнутому контуру
Тогда воспользуемся теоремой о циркуляции $B$ по замкнутому контуру
$$\int Bdl=\mu_0\sum I\tag{1}$$
$$\int Bdl=\mu_0\sum I\tag{1}$$
для этой окружности. Её лина равна $l=2\pi rsin\beta$
для этой окружности. Её лина равна $l=2\pi rsin\beta$
Ток, согласно условию, течет одинаково во всех направлениях, причем видимо поверхность проводника вблизи точки присоединения провода можно считать плоской.
Ток, согласно условию, течет одинаково во всех направлениях, причем видимо поверхность проводника вблизи точки присоединения провода можно считать плоской.
Тогда отношению тока, текщего через нашу окружность, к полному току равно $\frac{I'}{I}=\frac{\Omega}{2\pi}$, где $\Omega$ - телесный угол, под которым окружность видна из точки присоединения провода.
Тогда отношению тока, текщего через нашу окружность, к полному току равно $\frac{I'}{I}=\frac{\Omega}{2\pi}$, где $\Omega$ - телесный угол, под которым окружность видна из точки присоединения провода.
Рассмотрим сферу радиусом $R$ с центром в вершине конуса.
Рассмотрим сферу радиусом $R$ с центром в вершине конуса.
Конус вырезает на этой сфере часть поверхности, которая представляет собой сферический сегмент (шапочку).
Конус вырезает на этой сфере часть поверхности, которая представляет собой сферический сегмент (шапочку).
Элемент площади $dS$ на сфере в сферических координатах выражается как
Элемент площади $dS$ на сфере в сферических координатах выражается как
@@ -33,10 +33,10 @@Решение
$$dS = R^2 \sin\theta \ d\theta \ d\varphi$$ где $\theta$ — полярный угол (отклонение от оси), а $\varphi$ — азимутальный угол (угол поворота вокруг оси).
$$dS = R^2 \sin\theta \ d\theta \ d\varphi$$ где $\theta$ — полярный угол (отклонение от оси), а $\varphi$ — азимутальный угол (угол поворота вокруг оси).
Для прямого конуса с углом полураствора $\beta$, полярный угол $\theta$ изменяется от $0$ до $\beta$, а азимутальный угол $\varphi$ изменяется от $0$ до $2\pi$ (полный оборот).
Для прямого конуса с углом полураствора $\beta$, полярный угол $\theta$ изменяется от $0$ до $\beta$, а азимутальный угол $\varphi$ изменяется от $0$ до $2\pi$ (полный оборот).
