Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/9.3.7.md
+27 −7
| @@ -1,15 +1,35 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $9.3.7.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $9.3.7.$ По плоской поверхности, изображенной на рисунке, течет ток линейной плотности $i$. Докажите, что составляющая индукции магнитного поля, параллельная поверхности и перпендикулярная направлению $i$, определяется формулой | ||
| + | $$B_{\parallel} =\frac{\mu_0i\Omega}{4\pi}$$ в СИ и | ||
| + | $$B_{\parallel} = \frac{i\Omega}{c}$$ в СГС, где $\Omega$ — телесный угол, под которым | ||
| + | видна поверхность. | ||
| ### Решение | |||
| + |  | ||
| + | Для начала вспомним закон Био-Савара-Лапласа | ||
| + | $$ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I [d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3} \tag{1}$$ | ||
| + | Магнитное поле создаётся движущимися зарядами. Их скорость можно представить как $\vec v=\frac{d\vec l}{dt}$. Учтём также, что ток равен $I=\frac{dq}{dt}$. Тогда (1) можно записать в виде | ||
| + | $$ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dq [d\vec{l} \times \vec{r}]}{dt \cdot r^3}= \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dq [\vec{v} \times \vec{r}]}{r^3}$$ | ||
| + | Рассмотрим заряд $q$, который движется со скоростью $v$. Он будет создавать магнитное поле | ||
| + | $$ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q [\vec{v} \times \vec{r}]}{r^3}\tag{2}$$ | ||
| + | и электрическое поле | ||
| + | $$\vec E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\cdot \vec r}{r^3}\tag{3}$$ | ||
| + | А если выразить магнитное поле через электрическое, можно получить очень красивую формулу | ||
| + | $$ \vec{B} = \mu_0\varepsilon_0 [\vec{v} \times \vec{E}]\tag{4}$$ | ||
| + | Эта формула справедлива для любого заряженного тела и показывает взаимосвязь явлений электричества и магнетизма | ||
| − | |||
| − | |||
| − | лельная поверхности и перпендикулярная направлению i, определяется формулой | ||
| − | Bk = µ0iΩ/4π в СИ и Bk = iΩ/c в СГС, где Ω — телесный угол, под которым | ||
| − | видна поверхность. | ||
| + | Собственно, нас интересует параллельная плоской поверхности составляющая магнитного поля.Учитывая что скорость $v$ сонаправлена с током и пользуясь правилами векторного произведения, получим | ||
| + | $$ B_{\parallel} = \mu_0\varepsilon_0 vE_{\perp}\tag{5}$$ | ||
| + | Тут сразу вспоминается задача $6.1.19$, где была доказана теорема о перпендикулярном компоненте напряжённости электрического поля участка равномерно заряженной плоскости: | ||
| + | $$E_\perp = \frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}\tag{6}$$ | ||
| + | где $\sigma=\frac{dq}{dS}$ - поверхностная плотность зарядов, $\Omega$ — телесный угол, под которым видна поверхность. Поэтому перепишем (5): | ||
| + | $$ B_{\parallel} = \mu_0\varepsilon_0 v\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}=\mu_0 \frac{d l}{dt}\frac{dq}{dS}\frac{\Omega}{4\pi}=\frac{\mu_0i\Omega}{4\pi}\tag{7}$$ | ||
| + | В СГС используются другие основные единицы и константы, причем существуют разные ее виды (Гауссова, СГСМ, СГСЭ). Одним из возможных вариантов преобразоания СИ-СГС является $\frac{\mu_0}{4\pi}=\frac{1}{c}$, где $c$ - скорость света в вакууме | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $B_{\parallel} =\frac{\mu_0i\Omega}{4\pi}$ в СИ и | ||
| + | $B_{\parallel} = \frac{iΩ}{c}$ в СГС, где Ω — телесный угол, под которым | ||
| + | видна поверхность. | ||
| @@ -1,15 +1,35 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $9.3.7.$ [Вставьте условие задачи] | $9.3.7.$ По плоской поверхности, изображенной на рисунке, течет ток линейной плотности $i$. Докажите, что составляющая индукции магнитного поля, параллельная поверхности и перпендикулярная направлению $i$, определяется формулой | ||
| $$B_{\parallel} =\frac{\mu_0i\Omega}{4\pi}$$ в СИ и | |||
| $$B_{\parallel} = \frac{i\Omega}{c}$$ в СГС, где $\Omega$ — телесный угол, под которым | |||
| видна поверхность. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | |||
| Для начала вспомним закон Био-Савара-Лапласа | |||
| $$ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I [d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3} \tag{1}$$ | |||
| Магнитное поле создаётся движущимися зарядами. Их скорость можно представить как $\vec v=\frac{d\vec l}{dt}$. Учтём также, что ток равен $I=\frac{dq}{dt}$. Тогда (1) можно записать в виде | |||
| $$ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dq [d\vec{l} \times \vec{r}]}{dt \cdot r^3}= \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dq [\vec{v} \times \vec{r}]}{r^3}$$ | |||
| Рассмотрим заряд $q$, который движется со скоростью $v$. Он будет создавать магнитное поле | |||
| $$ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q [\vec{v} \times \vec{r}]}{r^3}\tag{2}$$ | |||
| и электрическое поле | |||
| $$\vec E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\cdot \vec r}{r^3}\tag{3}$$ | |||
| А если выразить магнитное поле через электрическое, можно получить очень красивую формулу | |||
| $$ \vec{B} = \mu_0\varepsilon_0 [\vec{v} \times \vec{E}]\tag{4}$$ | |||
| Эта формула справедлива для любого заряженного тела и показывает взаимосвязь явлений электричества и магнетизма | |||
| Собственно, нас интересует параллельная плоской поверхности составляющая магнитного поля.Учитывая что скорость $v$ сонаправлена с током и пользуясь правилами векторного произведения, получим | |||
| $$ B_{\parallel} = \mu_0\varepsilon_0 vE_{\perp}\tag{5}$$ | |||
| лельная поверхности и перпендикулярная направлению i, определяется формулой | Тут сразу вспоминается задача $6.1.19$, где была доказана теорема о перпендикулярном компоненте напряжённости электрического поля участка равномерно заряженной плоскости: | ||
| Bk = µ0iΩ/4π в СИ и Bk = iΩ/c в СГС, где Ω — телесный угол, под которым | $$E_\perp = \frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}\tag{6}$$ | ||
| видна поверхность. | |||
| где $\sigma=\frac{dq}{dS}$ - поверхностная плотность зарядов, $\Omega$ — телесный угол, под которым видна поверхность. Поэтому перепишем (5): | |||
| $$ B_{\parallel} = \mu_0\varepsilon_0 v\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}=\mu_0 \frac{d l}{dt}\frac{dq}{dS}\frac{\Omega}{4\pi}=\frac{\mu_0i\Omega}{4\pi}\tag{7}$$ | |||
| В СГС используются другие основные единицы и константы, причем существуют разные ее виды (Гауссова, СГСМ, СГСЭ). Одним из возможных вариантов преобразоания СИ-СГС является $\frac{\mu_0}{4\pi}=\frac{1}{c}$, где $c$ - скорость света в вакууме | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $B_{\parallel} =\frac{\mu_0i\Omega}{4\pi}$ в СИ и | ||
| $B_{\parallel} = \frac{iΩ}{c}$ в СГС, где Ω — телесный угол, под которым | |||
| видна поверхность. | |||