| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $9.3.7.$ По плоской поверхности, изображенной на рисунке, течет ток линейной плотности $i$. Докажите, что составляющая индукции магнитного поля, параллельная поверхности и перпендикулярная направлению $i$, определяется формулой | | $9.3.7.$ По плоской поверхности, изображенной на рисунке, течет ток линейной плотности $i$. Докажите, что составляющая индукции магнитного поля, параллельная поверхности и перпендикулярная направлению $i$, определяется формулой |
| $$B_{\parallel} =\frac{\mu_0i\Omega}{4\pi}$$ в СИ и | | $$B_{\parallel} =\frac{\mu_0i\Omega}{4\pi}$$ в СИ и |
| $$B_{\parallel} = \frac{i\Omega}{c}$$ в СГС, где $\Omega$ — телесный угол, под которым видна поверхность. | | $$B_{\parallel} = \frac{i\Omega}{c}$$ в СГС, где $\Omega$ — телесный угол, под которым видна поверхность. |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
|  | |  |
| Для начала вспомним закон Био-Савара-Лапласа | | Для начала вспомним закон Био-Савара-Лапласа |
| $$ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I [d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3} \tag{1}$$ | | $$ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I [d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3} \tag{1}$$ |
| Магнитное поле создаётся движущимися зарядами. Их скорость можно представить как $\vec v=\frac{d\vec l}{dt}$. Учтём также, что ток равен $I=\frac{dq}{dt}$. Тогда (1) можно записать в виде | | Магнитное поле создаётся движущимися зарядами. Их скорость можно представить как $\vec v=\frac{d\vec l}{dt}$. Учтём также, что ток равен $I=\frac{dq}{dt}$. Тогда (1) можно записать в виде |
| $$ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dq [d\vec{l} \times \vec{r}]}{dt \cdot r^3}= \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dq [\vec{v} \times \vec{r}]}{r^3}$$ | | $$ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dq [d\vec{l} \times \vec{r}]}{dt \cdot r^3}= \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dq [\vec{v} \times \vec{r}]}{r^3}$$ |
| Рассмотрим заряд $q$, который движется со скоростью $v$. Он будет создавать магнитное поле | | Рассмотрим заряд $q$, который движется со скоростью $v$. Он будет создавать магнитное поле |
| $$ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q [\vec{v} \times \vec{r}]}{r^3}\tag{2}$$ | | $$ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q [\vec{v} \times \vec{r}]}{r^3}\tag{2}$$ |
| и электрическое поле | | и электрическое поле |
| $$\vec E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\cdot \vec r}{r^3}\tag{3}$$ | | $$\vec E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\cdot \vec r}{r^3}\tag{3}$$ |
| А если выразить магнитное поле через электрическое, можно получить очень красивую формулу | | А если выразить магнитное поле через электрическое, можно получить очень красивую формулу |
| $$ \vec{B} = \mu_0\varepsilon_0 [\vec{v} \times \vec{E}]\tag{4}$$ | | $$ \vec{B} = \mu_0\varepsilon_0 [\vec{v} \times \vec{E}]\tag{4}$$ |
| Эта формула справедлива для любого заряженного тела и показывает взаимосвязь явлений электричества и магнетизма | | Эта формула справедлива для любого заряженного тела и показывает взаимосвязь явлений электричества и магнетизма |
| | | |
| Собственно, нас интересует параллельная плоской поверхности составляющая магнитного поля.Учитывая что скорость $v$ сонаправлена с током и пользуясь правилами векторного произведения, получим | | Собственно, нас интересует параллельная плоской поверхности составляющая магнитного поля.Учитывая что скорость $v$ сонаправлена с током и пользуясь правилами векторного произведения, получим |
| $$ B_{\parallel} = \mu_0\varepsilon_0 vE_{\perp}\tag{5}$$ | | $$ B_{\parallel} = \mu_0\varepsilon_0 vE_{\perp}\tag{5}$$ |
| Тут сразу вспоминается задача $6.1.19$, где была доказана теорема о перпендикулярном компоненте напряжённости электрического поля участка равномерно заряженной плоскости: | | Тут сразу вспоминается задача $6.1.19$, где была доказана теорема о перпендикулярном компоненте напряжённости электрического поля участка равномерно заряженной плоскости: |
| $$E_\perp = \frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}\tag{6}$$ | | $$E_\perp = \frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}\tag{6}$$ |
| | | |
| где $\sigma=\frac{dq}{dS}$ - поверхностная плотность зарядов, $\Omega$ — телесный угол, под которым видна поверхность. Поэтому перепишем (5): | | где $\sigma=\frac{dq}{dS}$ - поверхностная плотность зарядов, $\Omega$ — телесный угол, под которым видна поверхность. Поэтому перепишем (5): |
| $$ B_{\parallel} = \mu_0\varepsilon_0 v\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}=\mu_0 \frac{d l}{dt}\frac{dq}{dS}\frac{\Omega}{4\pi}=\frac{\mu_0i\Omega}{4\pi}\tag{7}$$ | | $$ B_{\parallel} = \mu_0\varepsilon_0 v\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}=\mu_0 \frac{d l}{dt}\frac{dq}{dS}\frac{\Omega}{4\pi}=\frac{\mu_0i\Omega}{4\pi}\tag{7}$$ |
| В СГС используются другие основные единицы и константы, причем существуют разные ее виды (Гауссова, СГСМ, СГСЭ). Одним из возможных вариантов преобразоания СИ-СГС является $\frac{\mu_0}{4\pi}=\frac{1}{c}$, где $c$ - скорость света в вакууме | | В СГС используются другие основные единицы и константы, причем существуют разные ее виды (Гауссова, СГСМ, СГСЭ). Одним из возможных вариантов преобразоания СИ-СГС является $\frac{\mu_0}{4\pi}=\frac{1}{c}$, где $c$ - скорость света в вакууме |
| | | |
