Решение

По закону сохранения полного магнитного потока для соленоида:

$$LI=LI'-BSN,$$

где $L$ есть индуктивность соленоида, $I$ и $I'=3I$ есть начальный и конечный токи в соленоиде, $B$ есть индукция магнитного поля в соленоиде, $S$ есть площадь сечения стержня, $N$ есть число витков соленоида. (Отмечаем, что сохраняется суммарный магнитный поток через все витки соленоида, то есть потокосцепление.)

Преобразуем и упростим формулу:

$$\frac{BSN}{L}=\frac{2}{3}I'.\tag{1}$$

Индукцию $B$ выразим через ток $I'$ согласно решению задачи $11.3.5$:

$$B=\mu_0nI',$$

где $\mu_0$ есть магнитная постоянная, $n$ есть число витков на единицу длины соленоида.

Индуктивность соленоида по результатам решения упомянутой задачи:

$$L=\mu_0S_Ln^2l,$$

где $S_L$ есть площадь сечения соленоида, $l$ есть длина соленоида.

Подставляем выписанные выражения для $B$ и $L$ в формулу $(1)$ и после упрощений с учетом $n=N/l$ получаем:

$$\frac{S_L}{S}=\frac{3}{2}=1{,}5.$$