Правка раздела «Решение»

emixter правка от 27 июн. 2025 г., 10:08

правка #14924 предыдущая #14913 ← раньше позже →

ru/7.2.2.md +58 −1

			### Условие

			$7.2.2.$ Электронный пучок фокусируется положительным объемным зарядом прямого ионного пучка с круглым сечением. На каком расстоянии от входа в ионный пучок фокусируются электроны, если их скорость на входе $\upsilon$, а плотность заряда и длина ионного пучка $\rho$ и $l$?

			![К задаче $7.2.2$\|425x150, 70%](../../img/7.2.2/7.2.2.png)

			### Решение

			Сначала найдём напряженность электрического поля внутри ионного пучка. По теореме Гуасса:

			$$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$$

			Выберем в качестве поверхности интегрирования цилиндр радиуса $r$ (менше радиуса пучка), соосный с пучком и длины $L$. Из симметрии электрическое поле направлено радиально наружу, через торцы поток отсутствует. Поток через боковую поверхность:

			$$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=E(r)\cdot 2\pi rL$$

			Заряд внутри цилиндра:

			$$Q=\rho V=\rho\cdot \pi r^{2}L$$

			Подставим в теорему Гаусса:

			$$E(r)\cdot 2\pi rL=\frac{\rho\cdot \pi r^{2}L}{\varepsilon_{0}}$$
			$$E(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_{0}}$$

			Это поле направлено к оси цилиндра — следовательно, оно фокусирует электроны.

			Электрон испытывает поперечное ускорение по второму закону Ньютона:

			$$a_{r}=\ddot{r}=\frac{F}{m_{e}}=\frac{-eE(r)}{m_{e}}=\frac{-e\rho r}{2m_{e}\varepsilon_{0}}$$

			Это уравнение гармонического осциллятора:

			$$\ddot{r}+\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}r=0$$

			где циклическая частота:
		@@ -37,7 +37,64 @@Решение

			$$\omega=\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}}$$

		−	Рассмотрим случай, когда электроны фокусируются внутри пучка
		+	Учитывая начальное условие: $r(0)=r_{0}$, получим решение этого дифференциального уравнения:
		+
		+	$$r(t)=r_{0}\cos(\omega t)$$
		+
		+	$\textbf{Рассмотрим случай, когда электроны фокусируются внутри пучка.}$
		+
		+	Вдоль оси электрон движется с постоянной скоростью $\upsilon$, так как поле не действует вдоль оси. Тогда:
		+
		+	$$t=\frac{x}{\upsilon}$$
		+
		+	Фокус возникает тогда, когда электрон пересекает ось ионного пучка. Первое пересечение с осью произойдет при:
		+
		+	$$\omega t=\frac{\pi}{2}\Longrightarrow t=\frac{\pi}{2\omega}$$
		+
		+	Следовательно:
		+
		+	$$x=\upsilon t=\frac{\pi\upsilon}{2\omega}=\frac{\pi\upsilon}{2}\sqrt{\frac{2m_{e}\varepsilon_{0}}{e\rho}}=\pi\upsilon\sqrt{\frac{m_{e}\varepsilon_{0}}{2e\rho}}$$
		+
		+	при $x\lt l$.
		+
		+	$\textbf{Рассмотрим случай, когда фокусировка электронов происходит после выхода из ионного пучка}$, то есть на расстоянии $x\ge l$.
		+
		+	После выхода из пучка электрическое поле исчезает, но электроны продолжают двигаться по инерции по прямолинейной траектории. Электроны, получившие за время пролёта импульс в сторону оси, продолжают сходиться, пока не пересекутся в фокусе.
		+
		+	Скорость вдоль оси $\upsilon$ постоянна. Время пролёта через пучок:
		+
		+	$$t_{l}=\frac{l}{\upsilon}$$
		+
		+	На выходе из пучка (в момент времени $t=t_{l}$) координата электрона:
		+
		+	$$r(t_{l})=r_{0}\cos(\omega t_{l})$$
		+
		+	Его скорость:
		+
		+	$$\frac{d r(t_{l})}{dt}=-r_{0}\omega\sin(\omega t_{l})$$
		+
		+	После выхода из пучка электрон движется равномерно:
		+
		+	$$r(t)=r(t_{l})+\frac{d r(t_{l})}{dt}(t-t_{l})=r(t_{l})+\dot{r}(t_{l})(t-t_{l})$$
		+
		+	Найдём время $t_{x}$, когда электрон пересекает ось $r(t_{x})=0$:
		+
		+	$$0=r(t_{l})+\dot{r}(t_{l})(t_{x}-t_{l})$$
		+	$$t_{x}=t_{l}-\frac{r(t_{l})}{\dot{r}(t_{l})}$$
		+
		+	Подставим:
		+
		+	$$t_{x}=\frac{l}{\upsilon}-\frac{r_{0}\cos(\omega t_{l})}{-r_{0}\omega\sin(\omega t_{l})}=\frac{l}{\upsilon}+\frac{\cot(\omega t_{l})}{\omega}=\frac{l}{\upsilon}+\frac{1}{\omega}\cot\left( \frac{l\omega}{\upsilon} \right)$$
		+
		+	Расстояние до фокуса:
		+
		+	$$x=\upsilon t_{x}=l+\frac{\upsilon}{\omega}\cot\left( \frac{l\omega}{\upsilon} \right)$$
		+
		+	Подставим формулу циклической частоты:
		+
		+	$$x=l+\upsilon\sqrt{\frac{2m_{e}\varepsilon_{0}}{e\rho}} \cot\left( \frac{l}{\upsilon}\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}} \right)$$
		+
		+	здесь $x\ge l$.

			#### Ответ

			$$x=\pi\upsilon\sqrt{\frac{m_{e}\varepsilon_{0}}{2e\rho}} \text{ при } x\lt l$$

			$$x=l+\upsilon\sqrt{\frac{2m_{e}\varepsilon_{0}}{e\rho}}\cot\left( \frac{l}{\upsilon}\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}} \right) \text{ при } x\ge l$$
		ещё строк без изменений 3

	### Условие		### Условие

	$7.2.2.$ Электронный пучок фокусируется положительным объемным зарядом прямого ионного пучка с круглым сечением. На каком расстоянии от входа в ионный пучок фокусируются электроны, если их скорость на входе $\upsilon$, а плотность заряда и длина ионного пучка $\rho$ и $l$?		$7.2.2.$ Электронный пучок фокусируется положительным объемным зарядом прямого ионного пучка с круглым сечением. На каком расстоянии от входа в ионный пучок фокусируются электроны, если их скорость на входе $\upsilon$, а плотность заряда и длина ионного пучка $\rho$ и $l$?

	![К задаче $7.2.2$\|425x150, 70%](../../img/7.2.2/7.2.2.png)		![К задаче $7.2.2$\|425x150, 70%](../../img/7.2.2/7.2.2.png)

	### Решение		### Решение

	Сначала найдём напряженность электрического поля внутри ионного пучка. По теореме Гуасса:		Сначала найдём напряженность электрического поля внутри ионного пучка. По теореме Гуасса:

	$$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$$		$$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$$

	Выберем в качестве поверхности интегрирования цилиндр радиуса $r$ (менше радиуса пучка), соосный с пучком и длины $L$. Из симметрии электрическое поле направлено радиально наружу, через торцы поток отсутствует. Поток через боковую поверхность:		Выберем в качестве поверхности интегрирования цилиндр радиуса $r$ (менше радиуса пучка), соосный с пучком и длины $L$. Из симметрии электрическое поле направлено радиально наружу, через торцы поток отсутствует. Поток через боковую поверхность:

	$$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=E(r)\cdot 2\pi rL$$		$$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=E(r)\cdot 2\pi rL$$

	Заряд внутри цилиндра:		Заряд внутри цилиндра:

	$$Q=\rho V=\rho\cdot \pi r^{2}L$$		$$Q=\rho V=\rho\cdot \pi r^{2}L$$

	Подставим в теорему Гаусса:		Подставим в теорему Гаусса:

	$$E(r)\cdot 2\pi rL=\frac{\rho\cdot \pi r^{2}L}{\varepsilon_{0}}$$		$$E(r)\cdot 2\pi rL=\frac{\rho\cdot \pi r^{2}L}{\varepsilon_{0}}$$
	$$E(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_{0}}$$		$$E(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_{0}}$$

	Это поле направлено к оси цилиндра — следовательно, оно фокусирует электроны.		Это поле направлено к оси цилиндра — следовательно, оно фокусирует электроны.

	Электрон испытывает поперечное ускорение по второму закону Ньютона:		Электрон испытывает поперечное ускорение по второму закону Ньютона:

	$$a_{r}=\ddot{r}=\frac{F}{m_{e}}=\frac{-eE(r)}{m_{e}}=\frac{-e\rho r}{2m_{e}\varepsilon_{0}}$$		$$a_{r}=\ddot{r}=\frac{F}{m_{e}}=\frac{-eE(r)}{m_{e}}=\frac{-e\rho r}{2m_{e}\varepsilon_{0}}$$

	Это уравнение гармонического осциллятора:		Это уравнение гармонического осциллятора:

	$$\ddot{r}+\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}r=0$$		$$\ddot{r}+\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}r=0$$

	где циклическая частота:		где циклическая частота:
	@@ -37,7 +37,64 @@Решение

	$$\omega=\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}}$$		$$\omega=\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}}$$

	Рассмотрим случай, когда электроны фокусируются внутри пучка		Учитывая начальное условие: $r(0)=r_{0}$, получим решение этого дифференциального уравнения:

			$$r(t)=r_{0}\cos(\omega t)$$

			$\textbf{Рассмотрим случай, когда электроны фокусируются внутри пучка.}$

			Вдоль оси электрон движется с постоянной скоростью $\upsilon$, так как поле не действует вдоль оси. Тогда:

			$$t=\frac{x}{\upsilon}$$

			Фокус возникает тогда, когда электрон пересекает ось ионного пучка. Первое пересечение с осью произойдет при:

			$$\omega t=\frac{\pi}{2}\Longrightarrow t=\frac{\pi}{2\omega}$$

			Следовательно:

			$$x=\upsilon t=\frac{\pi\upsilon}{2\omega}=\frac{\pi\upsilon}{2}\sqrt{\frac{2m_{e}\varepsilon_{0}}{e\rho}}=\pi\upsilon\sqrt{\frac{m_{e}\varepsilon_{0}}{2e\rho}}$$

			при $x\lt l$.

			$\textbf{Рассмотрим случай, когда фокусировка электронов происходит после выхода из ионного пучка}$, то есть на расстоянии $x\ge l$.

			После выхода из пучка электрическое поле исчезает, но электроны продолжают двигаться по инерции по прямолинейной траектории. Электроны, получившие за время пролёта импульс в сторону оси, продолжают сходиться, пока не пересекутся в фокусе.

			Скорость вдоль оси $\upsilon$ постоянна. Время пролёта через пучок:

			$$t_{l}=\frac{l}{\upsilon}$$

			На выходе из пучка (в момент времени $t=t_{l}$) координата электрона:

			$$r(t_{l})=r_{0}\cos(\omega t_{l})$$

			Его скорость:

			$$\frac{d r(t_{l})}{dt}=-r_{0}\omega\sin(\omega t_{l})$$

			После выхода из пучка электрон движется равномерно:

			$$r(t)=r(t_{l})+\frac{d r(t_{l})}{dt}(t-t_{l})=r(t_{l})+\dot{r}(t_{l})(t-t_{l})$$

			Найдём время $t_{x}$, когда электрон пересекает ось $r(t_{x})=0$:

			$$0=r(t_{l})+\dot{r}(t_{l})(t_{x}-t_{l})$$
			$$t_{x}=t_{l}-\frac{r(t_{l})}{\dot{r}(t_{l})}$$

			Подставим:

			$$t_{x}=\frac{l}{\upsilon}-\frac{r_{0}\cos(\omega t_{l})}{-r_{0}\omega\sin(\omega t_{l})}=\frac{l}{\upsilon}+\frac{\cot(\omega t_{l})}{\omega}=\frac{l}{\upsilon}+\frac{1}{\omega}\cot\left( \frac{l\omega}{\upsilon} \right)$$

			Расстояние до фокуса:

			$$x=\upsilon t_{x}=l+\frac{\upsilon}{\omega}\cot\left( \frac{l\omega}{\upsilon} \right)$$

			Подставим формулу циклической частоты:

			$$x=l+\upsilon\sqrt{\frac{2m_{e}\varepsilon_{0}}{e\rho}} \cot\left( \frac{l}{\upsilon}\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}} \right)$$

			здесь $x\ge l$.

	#### Ответ		#### Ответ

	$$x=\pi\upsilon\sqrt{\frac{m_{e}\varepsilon_{0}}{2e\rho}} \text{ при } x\lt l$$		$$x=\pi\upsilon\sqrt{\frac{m_{e}\varepsilon_{0}}{2e\rho}} \text{ при } x\lt l$$

	$$x=l+\upsilon\sqrt{\frac{2m_{e}\varepsilon_{0}}{e\rho}}\cot\left( \frac{l}{\upsilon}\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}} \right) \text{ при } x\ge l$$		$$x=l+\upsilon\sqrt{\frac{2m_{e}\varepsilon_{0}}{e\rho}}\cot\left( \frac{l}{\upsilon}\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}} \right) \text{ при } x\ge l$$
	ещё строк без изменений 3