Решение

Сначала найдём напряженность электрического поля внутри ионного пучка. По теореме Гуасса:

$$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$$

Выберем в качестве поверхности интегрирования цилиндр радиуса $r$ (менше радиуса пучка), соосный с пучком и длины $L$. Из симметрии электрическое поле направлено радиально наружу, через торцы поток отсутствует. Поток через боковую поверхность:

$$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=E(r)\cdot 2\pi rL$$

Заряд внутри цилиндра:

$$Q=\rho V=\rho\cdot \pi r^{2}L$$

Подставим в теорему Гаусса:

$$E(r)\cdot 2\pi rL=\frac{\rho\cdot \pi r^{2}L}{\varepsilon_{0}}$$
$$E(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_{0}}$$

Это поле направлено к оси цилиндра — следовательно, оно фокусирует электроны.

Электрон испытывает поперечное ускорение по второму закону Ньютона:

$$a_{r}=\ddot{r}=\frac{F}{m_{e}}=\frac{-eE(r)}{m_{e}}=\frac{-e\rho r}{2m_{e}\varepsilon_{0}}$$

Это уравнение гармонического осциллятора:

$$\ddot{r}+\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}r=0$$

где циклическая частота:

$$\omega=\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}}$$

Учитывая начальное условие: $r(0)=r_{0}$, получим решение этого дифференциального уравнения:

$$r(t)=r_{0}\cos(\omega t)$$

$\textbf{Рассмотрим случай, когда электроны фокусируются внутри пучка.}$

Вдоль оси электрон движется с постоянной скоростью $\upsilon$, так как поле не действует вдоль оси. Тогда:

$$t=\frac{x}{\upsilon}$$

Фокус возникает тогда, когда электрон пересекает ось ионного пучка. Первое пересечение с осью произойдет при:

$$\omega t=\frac{\pi}{2}\Longrightarrow t=\frac{\pi}{2\omega}$$

Следовательно:

$$x=\upsilon t=\frac{\pi\upsilon}{2\omega}=\frac{\pi\upsilon}{2}\sqrt{\frac{2m_{e}\varepsilon_{0}}{e\rho}}=\pi\upsilon\sqrt{\frac{m_{e}\varepsilon_{0}}{2e\rho}}$$

при $x\lt l$.

$\textbf{Рассмотрим случай, когда фокусировка электронов происходит после выхода из ионного пучка}$, то есть на расстоянии $x\ge l$.

После выхода из пучка электрическое поле исчезает, но электроны продолжают двигаться по инерции по прямолинейной траектории. Электроны, получившие за время пролёта импульс в сторону оси, продолжают сходиться, пока не пересекутся в фокусе.

Скорость вдоль оси $\upsilon$ постоянна. Время пролёта через пучок:

$$t_{l}=\frac{l}{\upsilon}$$

На выходе из пучка (в момент времени $t=t_{l}$) координата электрона:

$$r(t_{l})=r_{0}\cos(\omega t_{l})$$

Его скорость:

$$\frac{d r(t_{l})}{dt}=-r_{0}\omega\sin(\omega t_{l})$$

После выхода из пучка электрон движется равномерно:

$$r(t)=r(t_{l})+\frac{d r(t_{l})}{dt}(t-t_{l})=r(t_{l})+\dot{r}(t_{l})(t-t_{l})$$

Найдём время $t_{x}$, когда электрон пересекает ось $r(t_{x})=0$:

$$0=r(t_{l})+\dot{r}(t_{l})(t_{x}-t_{l})$$
$$t_{x}=t_{l}-\frac{r(t_{l})}{\dot{r}(t_{l})}$$

Подставим:

$$t_{x}=\frac{l}{\upsilon}-\frac{r_{0}\cos(\omega t_{l})}{-r_{0}\omega\sin(\omega t_{l})}=\frac{l}{\upsilon}+\frac{\cot(\omega t_{l})}{\omega}=\frac{l}{\upsilon}+\frac{1}{\omega}\cot\left( \frac{l\omega}{\upsilon} \right)$$

Расстояние до фокуса:

$$x=\upsilon t_{x}=l+\frac{\upsilon}{\omega}\cot\left( \frac{l\omega}{\upsilon} \right)$$

Подставим формулу циклической частоты:

$$x=l+\upsilon\sqrt{\frac{2m_{e}\varepsilon_{0}}{e\rho}} \cot\left( \frac{l}{\upsilon}\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}} \right)$$

здесь $x\ge l$.