Решение

Поместим указанную среду в однородное поле напряжённостью $E$. Тогда шарики создадут собственное индуцированное поле, которое частично скомпенсирует внешнее. Это свойство и характерезует диэлектрическая проницаемость.

Вспомним задачу $6.6.29$. Там мы нашли дипольный момент проводящего шарика радиуса $r$, помещенного в однородное электрическое поле напряженности $E$:
$$p = 4\pi\varepsilon_0r^3E\tag{1}$$
Вектор $\vec p$ направлен противоположно полю.

Предположим, что концентрация шариков достаточно малая.
Тогда шарики не сильно взаимодействуют и можно считать, что локальное поле, действующее на каждый шарик, примерно равно внешнему полю.

Теперь введём новую величину - вектор поляризованность среды $\vec P$, который характеризует дипольный момент единицы объёма среды. В данном случае он будет определяться (учитывая, что дипольные моменты всех шариков направлены одинаково) как
$$P=\frac{\sum p}{\Delta V}=pn=4\pi\varepsilon_0nr^3E\tag{2}$$
Для изотропного диэлектрика в не очень сильном поле верно
$$P=(\varepsilon-1)\varepsilon_0 E\tag{3}$$
где $\varepsilon$ - искомая диэлектрическая проницаемость. Из (2) и (3) получим:
$$(\varepsilon-1)\varepsilon_0 E=4\pi\varepsilon_0nr^3E$$

$$\varepsilon = 1 + 4\pi r^3n$$