Решение

$$x(t) = \frac{F_{0}t}{m (\omega_{0} + \omega)}sin(\frac{\omega_{0}+\omega}{2}t)$$

Или, если воспользоваться $\omega → \omega_{0}$

$$x(t) = \frac{F_{0}t}{2m\omega_{0}}sin(\omega_{0}t)$$

Видно, что огибающая синуса возрастает линейно. Построим график решения:

В системе нет потерь энергии, потому энергия, полученная осциллятором извне, будет накапливаться. Проявляться это будет в виде линейного увеличения амплитуды колебаний.
С точки зрения математики объяснение будет следующим: поскольку период биений $T_{биений} = \frac{\pi}{|\omega-\omega_{0}|}$ гораздо больше (в пределе бесконечный), чем любое другое наблюдаемое время , мы видим только самое начало первого биения, т.е. его линейный участок.

Для наглядности приведём графики при $\omega_{0}-\omega = 0.1\omega_{0}$ (Период биений в 10 раз больше собственного периода)

При $\omega_{0}-\omega = 0.05\omega_{0}$

При $\omega_{0}-\omega = 0.03\omega_{0}$

При $\omega_{0}-\omega = 0.01\omega_{0}$