Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/3.5.34.md
+41 −3
| @@ -1,11 +1,49 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.5.34.$ | ||
| + | $3.5.34.$ Выяснить характер раскачки колебаний при $\omega = \omega_{0}$ можно, перейдя | ||
| + | в выражении для координаты x(t) к пределу $\omega → \omega_{0}$ (см. ответ к задаче 3.5.32∗ | ||
| + | ). | ||
| + | Как объяснить, что амплитуда колебаний растет в этом случае пропорционально | ||
| + | времени? | ||
| ### Решение | |||
| − | решеніе | ||
| + | $$x(t) = \frac{F_{0}t}{m | ||
| + | (\omega_{0} + \omega)}sin(\frac{\omega_{0}+\omega}{2}t)$$ | ||
| + | |||
| + | Или, если воспользоваться $\omega → \omega_{0}$ | ||
| + | |||
| + | $$x(t) = \frac{F_{0}t}{2m\omega_{0}}sin(\omega_{0}t)$$ | ||
| + | |||
| + | Видно, что огибающая синуса возрастает линейно. Построим график решения: | ||
| + | |||
| + |  | ||
| + | |||
| + | В системе нет потерь энергии, потому энергия, полученная осциллятором извне, будет накапливаться. Проявляться это будет в виде линейного увеличения амплитуды колебаний. | ||
| + | С точки зрения математики объяснение будет следующим: поскольку период биений $T_{биений} = \frac{\pi}{|\omega-\omega_{0}|}$ гораздо больше (в пределе бесконечный), чем любое другое наблюдаемое время , мы видим только самое начало первого биения, т.е. его линейный участок. | ||
| + | |||
| + | Для наглядности приведём графики при $\omega_{0}-\omega = 0.1\omega_{0}$ (Период биений в 10 раз больше собственного периода) | ||
| + | |||
| + |  | ||
| + | |||
| + | При $\omega_{0}-\omega = 0.05\omega_{0}$ | ||
| + | |||
| + |  | ||
| + | |||
| + | При $\omega_{0}-\omega = 0.03\omega_{0}$ | ||
| + | |||
| + |  | ||
| + | |||
| + | При $\omega_{0}-\omega = 0.01\omega_{0}$ | ||
| + | |||
| + |  | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| + | Амплитуда вынужденных колебаний возрастает линейно | ||
| + | |||
| + | $$x(t) = \frac{F_{0}t}{2m\omega_{0}}sin(\omega_{0}t)$$ | ||
| @@ -1,11 +1,49 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.5.34.$ |
$3.5.34.$ Выяснить характер раскачки колебаний при $\omega = \omega_{0}$ можно, перейдя | ||
| в выражении для координаты x(t) к пределу $\omega → \omega_{0}$ (см. ответ к задаче 3.5.32∗ | |||
| ). | |||
| Как объяснить, что амплитуда колебаний растет в этом случае пропорционально | |||
| времени? | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| решеніе | |||
| $$x(t) = \frac{F_{0}t}{m | |||
| (\omega_{0} + \omega)}sin(\frac{\omega_{0}+\omega}{2}t)$$ | |||
| Или, если воспользоваться $\omega → \omega_{0}$ | |||
| $$x(t) = \frac{F_{0}t}{2m\omega_{0}}sin(\omega_{0}t)$$ | |||
| Видно, что огибающая синуса возрастает линейно. Построим график решения: | |||
|  | |||
| В системе нет потерь энергии, потому энергия, полученная осциллятором извне, будет накапливаться. Проявляться это будет в виде линейного увеличения амплитуды колебаний. | |||
| С точки зрения математики объяснение будет следующим: поскольку период биений $T_{биений} = \frac{\pi}{|\omega-\omega_{0}|}$ гораздо больше (в пределе бесконечный), чем любое другое наблюдаемое время , мы видим только самое начало первого биения, т.е. его линейный участок. | |||
| Для наглядности приведём графики при $\omega_{0}-\omega = 0.1\omega_{0}$ (Период биений в 10 раз больше собственного периода) | |||
|  | |||
| При $\omega_{0}-\omega = 0.05\omega_{0}$ | |||
|  | |||
| При $\omega_{0}-\omega = 0.03\omega_{0}$ | |||
|  | |||
| При $\omega_{0}-\omega = 0.01\omega_{0}$ | |||
|  | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| Амплитуда вынужденных колебаний возрастает линейно | |||
| $$x(t) = \frac{F_{0}t}{2m\omega_{0}}sin(\omega_{0}t)$$ | |||