Решение

Начальные условия опишем так же, как и в решении задачи $11.5.12$.

Пусть до включения тока в проводе токи в сверхпроводнике (СП) отсутстовали, и магнитное поле (кратко — поле) в нем было равно нулю.

Далее рассматриваем ситуацию, когда по проводу уже протекает ток. После включения тока в проводе поле в СП так же должно остаться нулевым (сохранение магнитного потока!). В таком случае понятно, что в СП должны возникнуть свои токи, которые в сумме с током провода дадут нулевое поле внутри СП.

Возникшие токи в СП можно можно заменить зеркальным током (метод зеркальных токов). Можно показать [1], что влияние СП можно моделировать зеркальным отражением тока провода относительно плоскости СП (рис. 1).

Мы положили, что ток в проводе течет на нас; это влечет то, что зеркальный ток в СП (мнимый ток) течет от нас (пояснение смотри в решении задачи $11.5.12$)

Поверхностные токи

Мы сказали, что поле внутри СП всегда будет равно нулю. Тогда по теореме о циркуляции в дифференциальной форме [2]

$$\operatorname{rot}\vec B=\mu_0\vec j.$$

ни в какой точке внутри СП нет тока.

Итак, реальные токи в СП текут по его поверхности.

Максимальное давление

Давления на поверхность СП обусловлено силами Ампера, действующими на поверхностные токи СП. Из симметрии ситуации видно, что это давление может меняться только вдоль лежащей на СП прямой, перпендикулярной оси провода.

Выберем произвольную точку $D$ на поверхности СП. Из этой точки проведем нормальный отрезок к проводу, который составит угол $\alpha$ с нашей вертикалью (рис. 2)

В точке $D$ на СП лежит элементарная площадка $dx\,dl$, по которой течет ток линейной плотности $i$, на который и действует поле внешних по отношению к нему токов (рис. 3).

Вблизи площадки над(!) ней поле складывается из полей тока площадки и токов внешних относительно нее (прием с выделением площадки в контексте полей применялся, например, в решении задачи $7.4.29$). В наших обозначениях с учетом напраавлений записать это можно так:

$$2\cdot\frac{\mu_0I\cos\alpha}{2\pi h}=\frac{\mu_0 i}{2}+B_\text{внеш},$$

где $B_\text{внеш}$ есть поле токов внешних относительно площадки. Левая часть равенства есть суммарное поле, которое мы нашли из модели «провод-отражение» по рисунку 1 с учетом результатов решения задачи $9.2.3$. В правой части дробное слагаемое есть поле от площадки вблизи нее (см. решение задачи $9.3.3$)

Аналогично, вблизи площадки под(!) ней можно записать:

$$0=-\frac{\mu_0 i}{2}+B_\text{внеш}.$$

Левая часть равна нулю, так как поле в СП равно нулю. В правой части дробное слагаемое изменило знак, так как направление поля от площадки стало противоположным; $B_\text{внеш}$ сохранило ориентацию, потому что для остальных реальных токов рассмотрение практически не изменилось.

Из формул $(1)$ и $(2)$ мы получим сам по себе важный результат зависимости линейной плотности тока $i$ от угла $\alpha$:

$$i=\frac{I\cos\alpha}{\pi h}.$$