Решение

Для определения соотношения истинного внутреннего радиуса капилляра и наблюдаемого достаточно построить ход двух лучей, исходящих от какой-либо точки внутренней поверхности капилляра А и выходящих через его внешнюю поверхность. Один из лучей очевиден – это луч 1, идущий вдоль радиуса капилляра (смотри рисунок). Возьмем луч 2, исходящий перпендикулярно первому. Так как истинный внутренний радиус капилляра $r^{'}=OA$ является малой величиной, то углы падения и преломления на внешней поверхности капилляра $\alpha$ и $\beta$ также малы, то есть их тангенсы примерно равны их синусам или самим углам. Тогда из рисунка следует:

$$OA=r^{'}\approx AC\cdot \beta \tag{1}$$

$$AB=r-r^{'}\approx AC\cdot (\alpha-\beta) \tag{2}$$

Поделим (2) на (1):

$$\frac{r-r^{'}}{r^{'}}=\frac{\alpha-\beta}{\beta}\Longrightarrow \frac{r}{r^{'}}=\frac{\alpha}{\beta}$$

Если теперь учесть закон преломления:

$$\frac{\alpha}{\beta}\approx n$$

Окончательно находим:

$$r^{'}=\frac{r}{n}$$