9.4.6. Индукция магнитного поля $B$, переходя через плоскую поверхность, меняет угол наклона к ней с $\alpha$ на $\beta$. Во сколько раз изменится индукция поля? Чему равна линейная плотность тока на поверхности?
Решение
Обозначим поле снизу поверхности как $B'$. Будем считать данную в условии поверхность бесконечной.
Из задачи 9.3.3 мы помним, что плоская бесконечная поверхность, по которой течёт ток, создаёт магнитное поле $$B_{surface}=\frac{\mu_{0}i}{2}\tag{1}$$ Причём это поле направлено параллельно поверхности и противоположно по разные стороны от неё.
Поэтому получается, что если поле сверху поверхности является суммой (векторной, само собой) поля собственно поверхности и некого "начального" поля $\vec B_0$: $$\vec B=\vec B_0+\vec B_{surface} \tag{2}$$ То поле снизу определяется как: $$\vec B'=\vec B_0-\vec B_{surface}\tag{3}$$ Теперь используем параллельность $B_{surface}$ поверхности и перейдём к проекциям: $$B\cos\alpha=B_{0\parallel} +B_{surface}\tag{4}$$ $$B'\cos\beta=B_{0\parallel} - B_{surface}\tag{5}$$ $$B\sin\alpha=B'\sin\beta=B_{0\perp}\tag{6}$$ Оказывается, перпендикулярная компонента поля сохраняется. И мы можем ответить на первый вопрос задачи: $$\frac{B'}{B}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\tag{7}$$ Теперь избавимся от неизвестного $B_{0\parallel}$: $$B\cos\alpha-B'\cos\beta=2B_{surface}\tag{8}$$ И используем (1) и (7): $$i=\frac{2B_{surface}}{\mu_{0}}$$ $$B'=B\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$$ $$i=\frac{B\cos\alpha-B'\cos\beta}{\mu_{0}}=\frac{B}{\mu_{0}}(\cos\alpha-\sin\alpha\cot\beta)=\frac{B\cos\alpha}{\mu_{0}}(1-\tan\alpha\cot\beta)$$
