Решение

Обозначим ширину нашего потока - $d$, угол его наклона - $\alpha$. В положении 1 высота потока $x$, его скорость $\upsilon_{1}$. В положении 2 высота потока $\frac{x}{2}$, его скорость $\upsilon_{2}$. В положении 3 высота потока $\frac{x}{4}$, его скорость $\upsilon_{3}$.

Запишим уравнение непрерывности (закон сохранения массы) для положения 1 и 2:

$$S_{1}\upsilon_{1}=S_{2}\upsilon_{2}$$

$$xd\upsilon_{1}=\frac{x}{2}d\upsilon_{2}\Longrightarrow \upsilon_{2}=2\upsilon_{1} \tag{1}$$

Запишим уравнение Бернулли (закон сохранения энергии) для положения 1 и 2:

$$\rho gh+\frac{1}{2}\rho\upsilon_{1}^{2}=\frac{1}{2}\rho\upsilon_{2}^{2}$$

Из рисунка ясно, что $h=l\sin\alpha$ и используя (1), получим:

$$\frac{2}{3}gl\sin\alpha=\upsilon_{1}^{2} \tag{2}$$

Теперь тоже самое проделаем для положения 3. Запишим уравнение непрерывности для положения 1 и 3:

$$S_{1}\upsilon_{1}=S_{3}\upsilon_{3}$$

$$xd\upsilon_{1}=\frac{x}{4}d\upsilon_{3}\Longrightarrow \upsilon_{3}=4\upsilon_{1} \tag{3}$$

Запишим уравнение Бернулли для положения 1 и 3:

$$\rho gH+\frac{1}{2}\rho\upsilon_{1}^{2}=\frac{1}{2}\rho\upsilon_{3}^{2}$$

Из рисунка ясно, что $H=L\sin\alpha$ и используя (3), получим:

$$\frac{2}{15}gL\sin\alpha=\upsilon_{1}^{2} \tag{4}$$

Приравняем (2) и (4):

$$\frac{2}{15}gL\sin\alpha=\frac{2}{3}gl\sin\alpha$$

Окончательно:

$$L=5l$$