Решение

Разность потенциалов внутри наших объектов:

$$\varphi(r_{2})-\varphi(r_{1})=-\int_{r_{1}}^{r_{2}}E(r)dr$$

В задаче, в каждом из случаев, нас просят найти $\Delta\varphi=\varphi(r_{1})-\varphi(r_{2})$, тогда:

$$\Delta\varphi=\int_{r_{1}}^{r_{2}}E(r)dr$$

Рассмотрим случай $\textbf{шара}$. Для выражения формулы напряжённости электрического поля внутри шара, используем результат задачи $6.2.6.(г)$:

$$E(r)=\frac{\rho r}{3\varepsilon_{0}}$$

Тогда:

$$\Delta\varphi=\int_{0}^{R}\frac{\rho r}{3\varepsilon_{0}}dr=\frac{\rho R^{2}}{6\varepsilon_{0}}$$

Рассмотрим случай $\textbf{бесконечного цилиндра}$. Для выражения формулы напряжённости электрического поля внутри цилиндра, используем результат задачи $6.2.6.(д)$:

$$E(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_{0}}$$

Тогда:

$$\Delta\varphi=\int_{0}^{R}\frac{\rho r}{2\varepsilon_{0}}dr=\frac{\rho R^{2}}{4\varepsilon_{0}}$$

Рассмотрим случай $\textbf{пластины}$. Для выражения формулы напряжённости электрического поля внутри пластины, используем результат задачи $6.2.6.(е)$:

$$E(x)=\frac{\rho x}{\varepsilon_{0}}$$

где $-\frac{h}{2}\le x\le \frac{h}{2}$.

Разность потенциалов между серединой и поверхностью:

$$\Delta\varphi=\int_{0}^{\frac{h}{2}}\frac{\rho x}{\varepsilon_{0}}dx=\frac{\rho \left( \frac{h}{2} \right)^{2}}{2\varepsilon_{0}}=\frac{\rho h^{2}}{8\varepsilon_{0}}$$