Решение

Поскольку ток непрерывно идёт через границу, он нигде не накапливается, то плотности токов в разных средах одинаковы: $j_{1}=j_{2}=j$.

Выделим цилиндр, проходяший через раздел двух сред, с площадью основания $S$. Вектор напряжённости в среде 1 обозначим $\vec E_{1}$, вектор напряжённости в среде 2 обозначим $\vec E_{2}$. Данные вектора противоположно направлены. Запишем теорему Гаусса:

$$(E_{1}-E_{2})S=\frac{q}{\varepsilon_{0}}\Longrightarrow E_{1}-E_{2}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$$

По определению удельной проводимости:

$$E_{1}=\frac{j}{\lambda_{1}}\text{ и }E_{2}=\frac{j}{\lambda_{2}}$$

Подставим в теорему Гаусса и окончательно получим:

$$\sigma=\varepsilon_{0}j\left( \frac{1}{\lambda_{1}}-\frac{1}{\lambda_{2}} \right)$$