Решение

Для стационарного тока:

$$\frac{dj}{dx}=0\Longrightarrow j=const$$

Дифференциальная форма закона Ома для неоднородной среды:

$$j(x)=\lambda(x)E(x)\Longrightarrow E(x)=\frac{j}{\lambda(x)}=\frac{j(a+x)}{\lambda_{0}a} \tag{1}$$

Дифференциальная форма теоремы Гаусса:

$$\vec\nabla \cdot \vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$

Для одномерного случая можна записать:

$$\frac{d E}{dx}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$

Дифференцируя (1), получим:

$$\frac{j}{\lambda_{0}a}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$

Окончательно:

$$\rho=\frac{\varepsilon_{0}j}{\lambda_{0}a}$$