Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

Shrodinger_cat правка от
Посмотреть решение История
правка #15237 предыдущая #15236 ← раньше позже →
ru/7.4.36.md +67 −10
@@ -1,16 +1,73 @@
### Условие
−$7.4.36.$ [Вставьте условие задачи]
+$7.4.36.$ Плазма состоит из электронов и тяжелых положительно заряженных ионов. Число электронов и ионов в единице объема одинаково и равно $n$.
+В слое плазмы толщины $h$ всем электронам сообщили одинаковую скорость $v$ в
+направлении, перпендикулярном слою. Через какое время основная масса электронов остановится электрическими силами, если: а) $v >> he\sqrt{n/m_e}$; б)$v << he\sqrt{n/m_e}$, где $e$, $m_e$ — заряд и масса электрона? Оцените в обоих случаях частоту колебания электронов.
### Решение
+Найдём скорость, чтоб электрон, который начал своё движение в центре слоя, мог долететь до его границы. Тогда конечная скорость равна нулю. Запишем закон изменения энергии:
+$$
+-\frac{m_ev_{min}^2}{2} = A
+$$
+![К задаче $7.4.36$|811x487, 50%](../../img/7.4.36/хохол.png)
+Напряжёность поля в слое толщиной равной половине пути электрона будет определятся как напряжёность двух бесконечных пластин:
+$$
+E(x) = \frac{2nex}{2\varepsilon_0}
+$$
+Тогда сила будет равна:
+$$
+F(x) = -eE(x) = -\frac{ne^2x}{\varepsilon_0}
+$$
+Тогда работа будет считаться как сумма элементарных работ по интегралу:
+$$
+A = -\frac{ne^2}{\varepsilon_0}\int_{0}^{\frac{h}{2}}xdx = -\frac{ne^2h^2}{2\varepsilon_0}
+$$
+Тогда скорость определяется:
+$$
+v_{min} = he\sqrt{\frac{n}{\varepsilon_0 m_e}}
+$$
+a) Если $v>>v_{min}$, то электроны покинут плазму. Тогда напряжёность слоя будет как напряжёность бесконечной пластины:
+$$
+E_i = \frac{neh}{2\varepsilon_0}
+$$
+Мы можем не учитывать в этом случае движение электронов в слое, тогда время равно:
+$$
+t \approx \frac{m_ev}{eE_i} = \frac{2\varepsilon_0 m_e v}{e^2nh}
+$$
+Это время равно $t = T/4$, тогда частота:
+$$
+\nu \approx \frac{1}{4t} = \frac{e^2nh}{8\varepsilon_0 m_e v}
+$$
+б)Если $v << v_{min}$, то электроны не покинут плазму, тогда, по Второму закону Ньютона:
+$$
+\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{ne^2}{2\varepsilon_0 m_e}x = 0
+$$
+Получено уравнение гармонических колебаний. Тогда его период равен:
+$$
+T = 2\pi \sqrt{\frac{2\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}
+$$
+Время остановки равно $t = T/4$:
+$$
+t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{2\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}
+$$
+И частота:
+$$
+\nu = 2\pi \sqrt{\frac{ne^2}{2\varepsilon_0 m_e}}
+$$
−Плазма состоит из электронов и тяжелых положительно заряженных ионов. Число электронов и ионов в единице объема одинаково и равно n.
−В слое плазмы толщины h всем электронам сообщили одинаковую скорость v в
−направлении, перпендикулярном слою. Через какое время основная масса электронов остановится электрическими силами, если: а) v  hep
−n/me; б) v 
−hep
−n/me, где e, me — заряд и масса электрона? Оцените в обоих случаях частоту колебания электронов.
+### Ответ
+а)
+$$
+\boxed{t \approx \frac{m_ev}{eE_i} = \frac{2\varepsilon_0 m_e v}{e^2nh}}
+$$
+$$
+\boxed{\nu \approx \frac{1}{4t} = \frac{e^2nh}{8\varepsilon_0 m_e v}}
+$$
−#### Ответ
−
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+б)
+$$
+\boxed{t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{2\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}}
+$$
+$$
+\boxed{\nu = 2\pi \sqrt{\frac{ne^2}{2\varepsilon_0}}}
+$$