Правка разделов «Решение», «Ответ»

Shrodinger_cat правка от 5 авг. 2025 г., 09:43

правка #15239 предыдущая #15237 ← раньше позже →

ru/7.4.36.md +9 −9

			### Условие

			$7.4.36.$ Плазма состоит из электронов и тяжелых положительно заряженных ионов. Число электронов и ионов в единице объема одинаково и равно $n$.
			В слое плазмы толщины $h$ всем электронам сообщили одинаковую скорость $v$ в
			направлении, перпендикулярном слою. Через какое время основная масса электронов остановится электрическими силами, если: а) $v >> he\sqrt{n/m_e}$; б)$v << he\sqrt{n/m_e}$, где $e$, $m_e$ — заряд и масса электрона? Оцените в обоих случаях частоту колебания электронов.

			### Решение
			Найдём скорость, чтоб электрон, который начал своё движение в центре слоя, мог долететь до его границы. Тогда конечная скорость равна нулю. Запишем закон изменения энергии:
			$$
		@@ -10,7 +10,7 @@Решение
			-\frac{m_ev_{min}^2}{2} = A
			$$
			![К задаче $7.4.36$\|811x487, 50%](../../img/7.4.36/ÑÐ¾ÑÐ¾Ð».png)
		−	Напряжёность поля в слое толщиной равной половине пути электрона будет определятся как напряжёность двух бесконечных пластин:
		+	Напряжёность поля в слое толщиной равной половине пути электрона будет определятся как напряжёность двух бесконечной пластины:
			$$
			E(x) = \frac{2nex}{2\varepsilon_0}
			$$
			Тогда сила будет равна:
			$$
			F(x) = -eE(x) = -\frac{ne^2x}{\varepsilon_0}
			$$
			Тогда работа будет считаться как сумма элементарных работ по интегралу:
			$$
			A = -\frac{ne^2}{\varepsilon_0}\int_{0}^{\frac{h}{2}}xdx = -\frac{ne^2h^2}{2\varepsilon_0}
			$$
			Тогда скорость определяется:
			$$
			v_{min} = he\sqrt{\frac{n}{\varepsilon_0 m_e}}
			$$
			a) Если $v>>v_{min}$, то электроны покинут плазму. Тогда напряжёность слоя будет как напряжёность бесконечной пластины:
			$$
			E_i = \frac{neh}{2\varepsilon_0}
			$$
			Мы можем не учитывать в этом случае движение электронов в слое, тогда время равно:
			$$
			t \approx \frac{m_ev}{eE_i} = \frac{2\varepsilon_0 m_e v}{e^2nh}
			$$
			Это время равно $t = T/4$, тогда частота:
			$$
			\nu \approx \frac{1}{4t} = \frac{e^2nh}{8\varepsilon_0 m_e v}
		@@ -40,34 +40,34 @@Решение
			$$
			б)Если $v << v_{min}$, то электроны не покинут плазму, тогда, по Второму закону Ньютона:
			$$
		−	\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{ne^2}{2\varepsilon_0 m_e}x = 0
		+	\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{2ne^2}{2\varepsilon_0 m_e}x = 0
			$$
			Получено уравнение гармонических колебаний. Тогда его период равен:
			$$
		−	T = 2\pi \sqrt{\frac{2\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}
		+	T = 2\pi \sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}
			$$
			Время остановки равно $t = T/4$:
			$$
		−	t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{2\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}
		+	t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}
			$$
			И частота:
			$$
		−	\nu = 2\pi \sqrt{\frac{ne^2}{2\varepsilon_0 m_e}}
		+	\nu = 2\pi \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0 m_e}}
			$$

			### Ответ
			а)
			$$
		−	\boxed{t \approx \frac{~~m_ev}{eE_i} = \frac{~~2\varepsilon_0 m_e v}{e^2nh}}
		+	\boxed{t \approx \frac{2\varepsilon_0 m_e v}{e^2nh}}
			$$
			$$
		−	\boxed{\nu \approx ~~\frac{1}{4t} =~~ \frac{e^2nh}{8\varepsilon_0 m_e v}}
		+	\boxed{\nu \approx \frac{e^2nh}{8\varepsilon_0 m_e v}}
			$$

			б)
			$$
		−	\boxed{t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{2\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}}
		+	\boxed{t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}}
			$$
			$$
		−	\boxed{\nu = 2\pi \sqrt{\frac{ne^2}{2\varepsilon_0}}}
		+	\boxed{\nu = 2\pi \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0 m_e}}}
			$$

	### Условие		### Условие

	$7.4.36.$ Плазма состоит из электронов и тяжелых положительно заряженных ионов. Число электронов и ионов в единице объема одинаково и равно $n$.		$7.4.36.$ Плазма состоит из электронов и тяжелых положительно заряженных ионов. Число электронов и ионов в единице объема одинаково и равно $n$.
	В слое плазмы толщины $h$ всем электронам сообщили одинаковую скорость $v$ в		В слое плазмы толщины $h$ всем электронам сообщили одинаковую скорость $v$ в
	направлении, перпендикулярном слою. Через какое время основная масса электронов остановится электрическими силами, если: а) $v >> he\sqrt{n/m_e}$; б)$v << he\sqrt{n/m_e}$, где $e$, $m_e$ — заряд и масса электрона? Оцените в обоих случаях частоту колебания электронов.		направлении, перпендикулярном слою. Через какое время основная масса электронов остановится электрическими силами, если: а) $v >> he\sqrt{n/m_e}$; б)$v << he\sqrt{n/m_e}$, где $e$, $m_e$ — заряд и масса электрона? Оцените в обоих случаях частоту колебания электронов.

	### Решение		### Решение
	Найдём скорость, чтоб электрон, который начал своё движение в центре слоя, мог долететь до его границы. Тогда конечная скорость равна нулю. Запишем закон изменения энергии:		Найдём скорость, чтоб электрон, который начал своё движение в центре слоя, мог долететь до его границы. Тогда конечная скорость равна нулю. Запишем закон изменения энергии:
	$$		$$
	@@ -10,7 +10,7 @@Решение
	-\frac{m_ev_{min}^2}{2} = A		-\frac{m_ev_{min}^2}{2} = A
	$$		$$
	![К задаче $7.4.36$\|811x487, 50%](../../img/7.4.36/ÑÐ¾ÑÐ¾Ð».png)		![К задаче $7.4.36$\|811x487, 50%](../../img/7.4.36/ÑÐ¾ÑÐ¾Ð».png)
	Напряжёность поля в слое толщиной равной половине пути электрона будет определятся как напряжёность двух бесконечных пластин:		Напряжёность поля в слое толщиной равной половине пути электрона будет определятся как напряжёность двух бесконечной пластины:
	$$		$$
	E(x) = \frac{2nex}{2\varepsilon_0}		E(x) = \frac{2nex}{2\varepsilon_0}
	$$		$$
	Тогда сила будет равна:		Тогда сила будет равна:
	$$		$$
	F(x) = -eE(x) = -\frac{ne^2x}{\varepsilon_0}		F(x) = -eE(x) = -\frac{ne^2x}{\varepsilon_0}
	$$		$$
	Тогда работа будет считаться как сумма элементарных работ по интегралу:		Тогда работа будет считаться как сумма элементарных работ по интегралу:
	$$		$$
	A = -\frac{ne^2}{\varepsilon_0}\int_{0}^{\frac{h}{2}}xdx = -\frac{ne^2h^2}{2\varepsilon_0}		A = -\frac{ne^2}{\varepsilon_0}\int_{0}^{\frac{h}{2}}xdx = -\frac{ne^2h^2}{2\varepsilon_0}
	$$		$$
	Тогда скорость определяется:		Тогда скорость определяется:
	$$		$$
	v_{min} = he\sqrt{\frac{n}{\varepsilon_0 m_e}}		v_{min} = he\sqrt{\frac{n}{\varepsilon_0 m_e}}
	$$		$$
	a) Если $v>>v_{min}$, то электроны покинут плазму. Тогда напряжёность слоя будет как напряжёность бесконечной пластины:		a) Если $v>>v_{min}$, то электроны покинут плазму. Тогда напряжёность слоя будет как напряжёность бесконечной пластины:
	$$		$$
	E_i = \frac{neh}{2\varepsilon_0}		E_i = \frac{neh}{2\varepsilon_0}
	$$		$$
	Мы можем не учитывать в этом случае движение электронов в слое, тогда время равно:		Мы можем не учитывать в этом случае движение электронов в слое, тогда время равно:
	$$		$$
	t \approx \frac{m_ev}{eE_i} = \frac{2\varepsilon_0 m_e v}{e^2nh}		t \approx \frac{m_ev}{eE_i} = \frac{2\varepsilon_0 m_e v}{e^2nh}
	$$		$$
	Это время равно $t = T/4$, тогда частота:		Это время равно $t = T/4$, тогда частота:
	$$		$$
	\nu \approx \frac{1}{4t} = \frac{e^2nh}{8\varepsilon_0 m_e v}		\nu \approx \frac{1}{4t} = \frac{e^2nh}{8\varepsilon_0 m_e v}
	@@ -40,34 +40,34 @@Решение
	$$		$$
	б)Если $v << v_{min}$, то электроны не покинут плазму, тогда, по Второму закону Ньютона:		б)Если $v << v_{min}$, то электроны не покинут плазму, тогда, по Второму закону Ньютона:
	$$		$$
	\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{ne^2}{2\varepsilon_0 m_e}x = 0		\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{2ne^2}{2\varepsilon_0 m_e}x = 0
	$$		$$
	Получено уравнение гармонических колебаний. Тогда его период равен:		Получено уравнение гармонических колебаний. Тогда его период равен:
	$$		$$
	T = 2\pi \sqrt{\frac{2\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}		T = 2\pi \sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}
	$$		$$
	Время остановки равно $t = T/4$:		Время остановки равно $t = T/4$:
	$$		$$
	t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{2\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}		t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}
	$$		$$
	И частота:		И частота:
	$$		$$
	\nu = 2\pi \sqrt{\frac{ne^2}{2\varepsilon_0 m_e}}		\nu = 2\pi \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0 m_e}}
	$$		$$

	### Ответ		### Ответ
	а)		а)
	$$		$$
	\boxed{t \approx \frac{~~m_ev}{eE_i} = \frac{~~2\varepsilon_0 m_e v}{e^2nh}}		\boxed{t \approx \frac{2\varepsilon_0 m_e v}{e^2nh}}
	$$		$$
	$$		$$
	\boxed{\nu \approx ~~\frac{1}{4t} =~~ \frac{e^2nh}{8\varepsilon_0 m_e v}}		\boxed{\nu \approx \frac{e^2nh}{8\varepsilon_0 m_e v}}
	$$		$$

	б)		б)
	$$		$$
	\boxed{t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{2\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}}		\boxed{t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}}
	$$		$$
	$$		$$
	\boxed{\nu = 2\pi \sqrt{\frac{ne^2}{2\varepsilon_0}}}		\boxed{\nu = 2\pi \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0 m_e}}}
	$$		$$