Новое решение

naz правка от 10 авг. 2025 г., 07:56

правка #15260 позже →

ru/5.6.23.md +28 −0

		@@ -0,0 +1,28 @@
		+	### Условие
		+
		+	$5.6.23.$ [Вставьте условие задачи]
		+
		+	### Решение
		+
		+	При адиабатическом процессе работа газа равна:
		+	$$A =\frac{\nu RT}{\gamma - 1}(1 - (\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1})$$
		+	Работа компрессора равна:
		+	$$A' = -A$$
		+	$\nu RT$ для обоих компрессоров одинаковое, ввиду одинаковости начальных температур. Из закона Менделеева-Клапейрона:
		+	$$\nu RT = P_{0}V_{0}$$
		+	Следовательно работа компрессора 1 и компрессора 2:
		+	$$A'_{1} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{0}}{V_{1}})^{\gamma - 1} - 1)$$
		+	$$A'_{2} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1} - 1)$$
		+	Полная работа:
		+	$$A = A'_{1} + A'_{2} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{0}}{V_{1}})^{\gamma - 1} + (\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1} - 2)$$
		+	Для нахождения оптимального $V_{1}$ возьмем производную от выражения в скобках и приравняем к нулю:
		+	$(1 - \gamma)V_{0}^{\gamma - 1}V_{1}^{-\gamma} + (\gamma - 1)V_{2}^{1 - \gamma}V_{1}^{\gamma - 2} = 0$
		+	Решая, получим:
		+	$V_{1} = \sqrt{V_{0}V_{2}}$
		+	Подставим $V_{1}$ и значение $\gamma = \frac{7}{5}$ в формулу для суммарной работы и получим:
		+	$$A_{min} = 5P_{0}V_{0}((\frac{V_{0}}{V_{2}})^{frac{1}{5}} - 1)$$
		+	Затем, подставив эти значения в формулы для $A'_{1}$ и $A'_{2}$, можно сделать вывод, что каждый компрессор совершает одинаковую работу равную $\frac{A_{min}}{2}$.
		+
		+	#### Ответ
		+
		+	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]

	@@ -0,0 +1,28 @@
			### Условие

			$5.6.23.$ [Вставьте условие задачи]

			### Решение

			При адиабатическом процессе работа газа равна:
			$$A =\frac{\nu RT}{\gamma - 1}(1 - (\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1})$$
			Работа компрессора равна:
			$$A' = -A$$
			$\nu RT$ для обоих компрессоров одинаковое, ввиду одинаковости начальных температур. Из закона Менделеева-Клапейрона:
			$$\nu RT = P_{0}V_{0}$$
			Следовательно работа компрессора 1 и компрессора 2:
			$$A'_{1} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{0}}{V_{1}})^{\gamma - 1} - 1)$$
			$$A'_{2} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1} - 1)$$
			Полная работа:
			$$A = A'_{1} + A'_{2} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{0}}{V_{1}})^{\gamma - 1} + (\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1} - 2)$$
			Для нахождения оптимального $V_{1}$ возьмем производную от выражения в скобках и приравняем к нулю:
			$(1 - \gamma)V_{0}^{\gamma - 1}V_{1}^{-\gamma} + (\gamma - 1)V_{2}^{1 - \gamma}V_{1}^{\gamma - 2} = 0$
			Решая, получим:
			$V_{1} = \sqrt{V_{0}V_{2}}$
			Подставим $V_{1}$ и значение $\gamma = \frac{7}{5}$ в формулу для суммарной работы и получим:
			$$A_{min} = 5P_{0}V_{0}((\frac{V_{0}}{V_{2}})^{frac{1}{5}} - 1)$$
			Затем, подставив эти значения в формулы для $A'_{1}$ и $A'_{2}$, можно сделать вывод, что каждый компрессор совершает одинаковую работу равную $\frac{A_{min}}{2}$.

			#### Ответ

			[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]