Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/5.6.23.md
+11 −4
| @@ -1,6 +1,12 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $5.6.23.$ | ||
| + | $5.6.23.$ Два компрессора адиабатически сжимают двухатомный газ. Снача | ||
| + | ла работает один компрессор, сжимающий газ от объема $V_{0}$ до промежуточного | ||
| + | объема $V_{1}$. Затем сжатый газ охлаждается до начальной температуры, после чего | ||
| + | в работу вступает второй компрессор, сжимающий газ до объема $V_{2}$. При каком | ||
| + | объеме $V_{1}$ полная работа обоих компрессоров минимальна и чему она равна? | ||
| + | Объемы $V_{0}$ и $V_{2}$ считать заданными, начальное давление газа $P_0$. Работа какого | ||
| + | компрессора при оптимальном значении $V_1$ больше? | ||
| ### Решение | |||
| При адиабатическом процессе работа газа равна: | |||
| $$A =\frac{\nu RT}{\gamma - 1}(1 - (\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1})$$ | |||
| Работа компрессора равна: | |||
| $$A' = -A$$ | |||
| $\nu RT$ для обоих компрессоров одинаковое, ввиду одинаковости начальных температур. Из закона Менделеева-Клапейрона: | |||
| $$\nu RT = P_{0}V_{0}$$ | |||
| Следовательно работа компрессора 1 и компрессора 2: | |||
| $$A'_{1} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{0}}{V_{1}})^{\gamma - 1} - 1)$$ | |||
| $$A'_{2} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1} - 1)$$ | |||
| Полная работа: | |||
| $$A = A'_{1} + A'_{2} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{0}}{V_{1}})^{\gamma - 1} + (\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1} - 2)$$ | |||
| Для нахождения оптимального $V_{1}$ возьмем производную от выражения в скобках и приравняем к нулю: | |||
| $(1 - \gamma)V_{0}^{\gamma - 1}V_{1}^{-\gamma} + (\gamma - 1)V_{2}^{1 - \gamma}V_{1}^{\gamma - 2} = 0$ | |||
| @@ -20,9 +26,10 @@Решение | |||
| Решая, получим: | |||
| $V_{1} = \sqrt{V_{0}V_{2}}$ | |||
| Подставим $V_{1}$ и значение $\gamma = \frac{7}{5}$ в формулу для суммарной работы и получим: | |||
| − | $$A_{ | ||
| − | Затем, подставив эти значения в формулы для $A'_{1}$ и $A'_{2}$, можно сделать вывод, что каждый компрессор совершает одинаковую работу равную $\frac{A_{ | ||
| + | $$A_{мин} = 5P_{0}V_{0}[(\frac{V_{0}}{V_{2}})^{\frac{1}{5}} - 1]$$ | ||
| + | Затем, подставив эти значения в формулы для $A'_{1}$ и $A'_{2}$, можно сделать вывод, что каждый компрессор совершает одинаковую работу равную $\frac{A_{мин}}{2}$. | ||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $V_{1}=\sqrt{V_{0}V_{2}}$, $A_{мин}=5P_{0}V_{0}[(V_{0}/V_{2})^{\frac{1}{5}}−1]$. Каждый компрессор совершает работу | ||
| + | $\frac{A_{мин}}{2}$. | ||
| @@ -1,6 +1,12 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $5.6.23.$ |
$5.6.23.$ Два компрессора адиабатически сжимают двухатомный газ. Снача | ||
| ла работает один компрессор, сжимающий газ от объема $V_{0}$ до промежуточного | |||
| объема $V_{1}$. Затем сжатый газ охлаждается до начальной температуры, после чего | |||
| в работу вступает второй компрессор, сжимающий газ до объема $V_{2}$. При каком | |||
| объеме $V_{1}$ полная работа обоих компрессоров минимальна и чему она равна? | |||
| Объемы $V_{0}$ и $V_{2}$ считать заданными, начальное давление газа $P_0$. Работа какого | |||
| компрессора при оптимальном значении $V_1$ больше? | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| При адиабатическом процессе работа газа равна: | При адиабатическом процессе работа газа равна: | ||
| $$A =\frac{\nu RT}{\gamma - 1}(1 - (\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1})$$ | $$A =\frac{\nu RT}{\gamma - 1}(1 - (\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1})$$ | ||
| Работа компрессора равна: | Работа компрессора равна: | ||
| $$A' = -A$$ | $$A' = -A$$ | ||
| $\nu RT$ для обоих компрессоров одинаковое, ввиду одинаковости начальных температур. Из закона Менделеева-Клапейрона: | $\nu RT$ для обоих компрессоров одинаковое, ввиду одинаковости начальных температур. Из закона Менделеева-Клапейрона: | ||
| $$\nu RT = P_{0}V_{0}$$ | $$\nu RT = P_{0}V_{0}$$ | ||
| Следовательно работа компрессора 1 и компрессора 2: | Следовательно работа компрессора 1 и компрессора 2: | ||
| $$A'_{1} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{0}}{V_{1}})^{\gamma - 1} - 1)$$ | $$A'_{1} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{0}}{V_{1}})^{\gamma - 1} - 1)$$ | ||
| $$A'_{2} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1} - 1)$$ | $$A'_{2} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1} - 1)$$ | ||
| Полная работа: | Полная работа: | ||
| $$A = A'_{1} + A'_{2} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{0}}{V_{1}})^{\gamma - 1} + (\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1} - 2)$$ | $$A = A'_{1} + A'_{2} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{0}}{V_{1}})^{\gamma - 1} + (\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1} - 2)$$ | ||
| Для нахождения оптимального $V_{1}$ возьмем производную от выражения в скобках и приравняем к нулю: | Для нахождения оптимального $V_{1}$ возьмем производную от выражения в скобках и приравняем к нулю: | ||
| $(1 - \gamma)V_{0}^{\gamma - 1}V_{1}^{-\gamma} + (\gamma - 1)V_{2}^{1 - \gamma}V_{1}^{\gamma - 2} = 0$ | $(1 - \gamma)V_{0}^{\gamma - 1}V_{1}^{-\gamma} + (\gamma - 1)V_{2}^{1 - \gamma}V_{1}^{\gamma - 2} = 0$ | ||
| @@ -20,9 +26,10 @@Решение | |||
| Решая, получим: | Решая, получим: | ||
| $V_{1} = \sqrt{V_{0}V_{2}}$ | $V_{1} = \sqrt{V_{0}V_{2}}$ | ||
| Подставим $V_{1}$ и значение $\gamma = \frac{7}{5}$ в формулу для суммарной работы и получим: | Подставим $V_{1}$ и значение $\gamma = \frac{7}{5}$ в формулу для суммарной работы и получим: | ||
| $$A_{ |
$$A_{мин} = 5P_{0}V_{0}[(\frac{V_{0}}{V_{2}})^{\frac{1}{5}} - 1]$$ | ||
| Затем, подставив эти значения в формулы для $A'_{1}$ и $A'_{2}$, можно сделать вывод, что каждый компрессор совершает одинаковую работу равную $\frac{A_{ |
Затем, подставив эти значения в формулы для $A'_{1}$ и $A'_{2}$, можно сделать вывод, что каждый компрессор совершает одинаковую работу равную $\frac{A_{мин}}{2}$. | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $V_{1}=\sqrt{V_{0}V_{2}}$, $A_{мин}=5P_{0}V_{0}[(V_{0}/V_{2})^{\frac{1}{5}}−1]$. Каждый компрессор совершает работу | ||
| $\frac{A_{мин}}{2}$. | |||