Решение

При адиабатическом процессе работа газа равна:
$$A =\frac{\nu RT}{\gamma - 1}(1 - (\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1})$$
Работа компрессора равна:
$$A' = -A$$
$\nu RT$ для обоих компрессоров одинаковое, ввиду одинаковости начальных температур. Из закона Менделеева-Клапейрона:
$$\nu RT = P_{0}V_{0}$$
Следовательно работа компрессора 1 и компрессора 2:
$$A'_{1} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{0}}{V_{1}})^{\gamma - 1} - 1)$$
$$A'_{2} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1} - 1)$$
Полная работа:
$$A = A'_{1} + A'_{2} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{0}}{V_{1}})^{\gamma - 1} + (\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1} - 2)$$
Для нахождения оптимального $V_{1}$ возьмем производную от выражения в скобках и приравняем к нулю:
$(1 - \gamma)V_{0}^{\gamma - 1}V_{1}^{-\gamma} + (\gamma - 1)V_{2}^{1 - \gamma}V_{1}^{\gamma - 2} = 0$
Решая, получим:
$V_{1} = \sqrt{V_{0}V_{2}}$
Подставим $V_{1}$ и значение $\gamma = \frac{7}{5}$ в формулу для суммарной работы и получим:
$$A_{мин} = 5P_{0}V_{0}[(\frac{V_{0}}{V_{2}})^{\frac{1}{5}} - 1]$$
Затем, подставив эти значения в формулы для $A'_{1}$ и $A'_{2}$, можно сделать вывод, что каждый компрессор совершает одинаковую работу равную $\frac{A_{мин}}{2}$.